Limiti di funzioni – limite infinito al finito

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Studiare il limite di una funzione significa studiare il comportamento della funzione quando la variabile (o le variabili) da cui dipende si approssima(no) ad un punto reale o all’infinito. Abbiamo già visto in altre sedi la definizione generale di limite (quella topologica) e la definizione di limite finito al finito nell’insieme dei numeri reali. Vediamo ora cosa succede quando la variabile si approssima ad un punto reale ed il limite tende a più (o meno) infinito. Innanzitutto c’è da capire com’è fatto un intorno di più infinito (il discorso è uguale per meno infinito). Un siffatto intorno è un intervallo aperto non limitato a destra (a sinistra per meno infinito). Vediamo comunque la definizione.
\begin{array}{c}
\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim} f(x) = +\infty \\ \Longleftrightarrow \\ \forall M>0,\space \exists \delta > 0 \space tale\space che\space \vert x-x_{0}\vert M
\end{array}

Cosa abbiamo fatto dunque? Abbiamo fissato l’intorno di più infinito (ossia l’intervallo limitato inferiormente da M e illimitato superiormente) ed in corrispondenza di questo abbiamo trovato un intorno del punto x-zero nel quale le immagini della funzione f sono tutte maggiori di M. Se accade questo dunque il limite è più infinito. Nulla di diverso, insomma, dal caso finito, se guardiamo il tutto dal punto di vista degli intorni.

Per meno infinito la questione è molto simile:
\begin{array}{c}
\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim} f(x) = -\infty \\ \Longleftrightarrow \\ \forall M>0,\space \exists \delta > 0 \space tale\space che\space \vert x-x_{0}\vert
\end{array}

ATTENZIONE:
\begin{equation}
\underset{x\rightarrow 0}{lim} \frac{1}{x} \space NON\space ESISTE!
\end{equation}
…perché?

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