Limiti di funzioni – dalla topologia all'analisi

function

Il concetto di limite di una funzione è di fondamentale importanza in analisi matematica e viene come conseguenza immediata del teorema Ponte. In questo caso infatti la variabile non è più un numero naturale ma reale: pertanto, è possibile che essa tenda ad un valore reale piuttosto che all’infinito. Esistono diversi tipi di limite: finito al finito, finito all’infinito, infinito al finito, infinito all’infinito… a seconda del comportamento della variabile e della funzione. Ma qual è la definizione di limite? Essa ricalca il concetto di limite di successione negli spazi topologici, mettendo però al posto degli intorni gli intervalli. Vediamo il primo caso: limite finito al finito.

\begin{array}{c}
\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim} f(x) = l \in \mathbb{R} \\ \overset{def}{\Longleftrightarrow} \\ \forall \epsilon >0, \exists \delta >0 \space tale \space che\space \vert x-x_{0}\vert <\delta \rightarrow \vert f(x) – l \vert <\epsilon
\end{array}

Cosa esprime la definizione? Essa dice che, comunque prendiamo un intorno del punto l (piccolo a piacere), esiste un intorno del punto x-zero la cui immagine è tutta contenuta nell’intorno di l sopra scelto. Importante: la definizione è data in termini di distanza euclidea, e quindi in termini della topologia naturale. Abbiamo già visto che ci sono casi in cui alcune successioni possono convergere come non convergere a seconda della topologia esistente nello spazio. Vedremo successivamente qualche esempio di verifica di limite seguendo la definizione appena data.

Immagine via commons.wikimedia.org.

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