Limiti di funzione – limite finito all'infinito

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Come abbiamo già visto, la definizione di limite in termini di intorni è quella più semplice da ricordare ed anche da usare: si fissa un intorno arbitrario dell’eventuale limite, se in funzione di questo troviamo un intorno del punto a cui stiamo tendendo il limite è verificato, altrimenti… no! Cosa succede dunque per un limite finito quando la variabile tende a più infinito?

\begin{array}{c}
\underset{x\rightarrow +\infty}{lim} f(x) = l \\ \Longleftrightarrow \\
\forall \epsilon > 0, \exists M>0 \space tale\space che\space \ x>M \rightarrow \vert f(x) – l \vert
\end{array}

Facciamo un esempio. Dimostriamo che

\begin{equation}
\underset{x\rightarrow +\infty}{lim} \frac{1}{x} =0
\end{equation}

Fissato un epsilon, bisogna vedere se in funzione di questo è possibile trovare un valore M che verifichi la definizione. Facendo due conti…

\begin{array}{c}
\vert \frac{1}{x} \vert \frac{1}{\epsilon}
\end{array}

Siccome a noi interessa un intorno di più infinito, poniamo:
\begin{equation}
M=\frac{1}{\epsilon}
\end{equation}
trovando così l’intorno desiderato.

Il caso della variabile che tende a meno infinito è molto simile; cambia, ovviamente, l’intorno che ci serve. Infatti…

\begin{array}{c}
\underset{x\rightarrow – \infty}{lim} f(x) = l \\ \Longleftrightarrow \\
\forall \epsilon > 0, \exists M
\end{array}

Nell’esempio fatto sopra gli intervalli trovati erano due: infatti la funzione tende a zero anche quando la variabile tende a meno infinito.

Per concludere, diciamo che nel caso in cui una funzione presenti limite finito a più infinito (rispettivamente meno infinito) si dice che essa presenta un asintoto orizzontale a più infinito (rispettivamente, meno infinito).

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