Limite destro e limite sinistro

limit

Cos’è il limite destro? Cos’è il limite sinistro?

Abbiamo visto nella definizione generale di limite che, in funzione di un dato intorno del punto limite, si trova un intorno del punto a cui si tende nel quale valutare la funzione ed in particolare la distanza tra la funzione ed il limite. Il problema è che molte funzioni non sono valutabili nell’intero intorno del punto limite, ma solo alla sua destra o alla sua sinistra, o può capitare che il limite dia risultati diversi se ci avviciniamo al punto da destra o da sinistra. Pertanto si danno le definizioni di limite destro e limite sinistro considerando solo la parte destra (sinistra) dell’intorno. Dunque, per quanto riguarda il limite destro, abbiamo…

\begin{array}{c}
\underset{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}{lim} f(x) = l \\
\Longleftrightarrow \\
\forall \epsilon > 0 \space \exists \delta > 0 \space tale \space che \space x_{0}
\end{array}

Con la modifica fatta alla definizione generale consideriamo dunque solamente la parte destra dell’intorno del punto x_zero. Se invece vogliamo considerare il limite sinistro dobbiamo modificare come segue:

\begin{array}{c}
\underset{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}{lim} f(x) = l \\
\Longleftrightarrow \\
\forall \epsilon > 0 \space \exists \delta > 0 \space tale \space che \space x_{0} – \delta
\end{array}

Prima di concludere con qualche esempio, diciamo che una funzione ammette limite in un punto reale x-zero se e soltanto se il limite destro ed il limite sinistro esistono entrambi e COINCIDONO. Consideriamo ora:

\begin{equation}
\underset{x \rightarrow 0^{+}}{lim} \log x = -\infty
\end{equation}

In questo caso non è possibile considerare il limite da sinistra in quanto il logaritmo è definito soltanto per valori positivi dell’argomento, che in questo caso è x.
Altro esempio:
\begin{array}{c}
\underset{x \rightarrow 0^{+}}{lim} \frac{1}{x} = +\infty \\
\underset{x \rightarrow 0^{-}}{lim} \frac{1}{x} = -\infty
\end{array}
La funzione ammette due limiti differenti a zero più e zero meno, pertanto non ammette limite in zero.
Un altro esempio è fornito dalla funzione parte intera:
\begin{array}{c}
k \in \mathbb{Z},\space [x]=max\{k\in \mathbb{Z}\space : \space k\leq x\}; \\
\underset{x \rightarrow k^{-}}{lim} [x] = k-1 \\
\underset{x \rightarrow k^{+}}{lim} [x] = k \\
\end{array}

Anche in questo caso i limiti destro e sinistro sono diversi, pertanto il limite in un qualsiasi numero intero non esiste pur esistendo i limiti destro e sinistro.

Immagine via freefoto.com

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