Legge di Gauss

La legge di Gauss (talvolta conosciuta come teorema di Gauss) descrive la relazione che intercorre tra il flusso di campo elettrico attraverso una superficie chiusa e la carica elettrica in essa contenuta. La legge di Gauss è di fondamentale importanza per lo studio dei campi elettrici, specialmente in casi di particolari simmetrie.

Cominciamo col prendere una carica puntiforme al centro di una sfera (vedi figura). È facile immaginare che, punto per punto, le linee del campo elettrico generato dalla carica sono ortogonali alla superficie sferica, quindi parallele (punto per punto) al vettore normale della superficie stessa. Pertanto, per la definizione di flusso si ottiene:
\begin{array}{c}
\Phi_{E} = \oint \overset{\rightarrow}{E} \cdot d\overset{\rightarrow}{A} = \oint E\cdot dA = E \oint dA
\end{array}
È facile osservare che il campo elettrico sulla superficie sferica non varia punto per punto, poiché esso è sempre uguale a…
\begin{equation}
E=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}
\end{equation}
e la carica è situata al centro della sfera; pertanto il campo elettrico è costante e può essere portato fuori dal segno di integrale. A questo punto, dovendo integrare soltanto la superficie, si ottiene facilmente:
\begin{equation}
\Phi_{E} = E\cdot A = E \cdot 4\pi r^{2}
\end{equation}
Scrivendo quindi la forma completa del campo risulta ovvio che
\begin{array}{c}
\Phi_{E} = E\cdot A = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \cdot 4\pi r^{2} \\
\Longrightarrow \Phi_{E} = \frac{q}{\epsilon_{0}}
\end{array}
Da notare che nella formula finale del flusso è scomparsa la dipendenza dal raggio della sfera. Questo risultato è dovuto al fatto che il campo elettrico è proporzionale all’inverso della distanza al quadrato, mentre il flusso è proporzionale alla distanza al quadrato.
Prima di enunciare la legge di Gauss facciamo un’altra osservazione: se la carica q è esterna alla sfera (o ad una qualsiasi superficie chiusa) le linee di campo entranti e quelle uscenti sono di egual numero, per cui il flusso totale è nullo giacché, per quanto già detto precedentemente, il flusso è idealizzabile come la somma di tutte le linee di campo uscenti dalla superficie meno la somma di tutte quelle entranti, ed il tutto è indipendente dalla forma della superficie.
Concludendo, la legge di Gauss afferma che, data una qualsiasi superficie chiusa:
\begin{equation}
\Phi_{E} = \frac{q_{int}}{\epsilon_{0}}
\end{equation}
il flusso di campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è dato dalla somma delle cariche in essa contenuta (quindi interne) diviso la costante dielettrica nel vuoto.