Le strutture algebriche – Spazi vettoriali, moduli

Abbiamo già visto alcuni esempi di strutture algebriche (gruppi, anelli…); tuttavia, le strutture algebriche non si fermano a quelle che utilizziamo solitamente. Vediamo altri due tipi di strutture: gli spazi vettoriali e i moduli. I primi sono spesso utilizzati a nostra insaputa: ogni qual volta risolviamo un sistema lineare, ad esempio, c’è di mezzo un discorso di giaciture, ovvero di sottospazi vettoriali, anche se non ne facciamo nome. Ma cos’è uno spazio vettoriale?

Sia K un campo.
\begin{array}{c}
S(+, \cdot) \space K-spazio\space vettoriale\\ \overset{def}{\Longleftrightarrow} \\ V(+)\space e’\space un\space gruppo\space abeliano;\\ \cdot \space : \space K\times V \rightarrow V\space tale\space che \\ \space \\
1.\space \forall a,b\in K,\space \forall v\in V,\space a\cdot(b\cdot v)= (a\cdot b)\cdot v;\\
2.\space 1\cdot v=v,\space \forall v\in V;\\
3.\space \forall a\in K,\space \forall u,v\in V, a\cdot (u+v)= a\cdot u + a\cdot v;\\
4.\space \forall a,b\in K,\space \forall v\in V,\space (a+b)\cdot v = a\cdot v + b\cdot v.
\end{array}

L’operazione di somma è interna, ossia tra elementi di V stesso, il prodotto invece è esterno, ossia tra elementi di K ed elementi di V. La proprietà 1. descrive l’associatività del prodotto esterno; la
2. indica che l’unità del campo K funge da elemento neutro anche per il prodotto esterno; la 3. definisce la distributività del prodotto esterno rispetto alla somma interna (tra vettori); la 4. definisce la distributività del prodotto esterno rispetto alla somma tra scalari.

Un esempio di spazio vettoriale è l’insieme delle n-ple reali sul campo reale.

Un modulo è la generalizzazione di spazio vettoriale; non si richiede infatti che l’insieme degli scalari costituisca un campo bensì un anello; si distinguono tuttavia moduli sinistri, destri e bilateri a seconda delle proprietà dell’operazione esterna.

Immagine via resumbrae.com. L’immagine rappresenta un sottospazio affine di cui parleremo in un’altra sede.