Le strutture algebriche – gruppi e semigruppi

Cos’è una struttura algebrica?

Si dice struttura algebrica un insieme S munito di un insieme finito e non vuoto di operazioni, quelle interne definite tra gli elementi stessi di S, quelle esterne definite con tra opportuni operatori ed S stesso. Una struttura algebrica viene solitamente indicata nel seguente modo:
\begin{equation}
S(\sigma, \theta, \phi,…)
\end{equation}

dove le lettere greche tra parentesi indicano le operazioni interne od esterne. Facciamo ora una carrellata di strutture algebriche. Cominciamo da quelle definite semplici, ovvero munite di una sola legge di composizione.

S(+) si dice semigruppo se la + è una legge interna associativa. S(+) si dice inoltre commutativo se la legge è anche commutativa (nel senso che a + b = b + a). Un semigruppo si definisce unitario (o, in breve, monoide) se in S è presente l’elemento neutro rispetto all’operazione introdotta. Ricordiamo che
\begin{equation}
e\space elemento\space neutro \Longleftrightarrow a+e = a = e+a
\end{equation}

S(+) è un gruppo se la legge interna è associativa, esiste in S l’elemento neutro e ogni elemento di S ammette un inverso, ossia è simmetrizzabile. Inoltre, se la legge interna è commutativa il gruppo si definisce abeliano (in onore del matematico Abel).

Facciamo ora alcuni esempi.
\begin{equation}
\mathbb{N} (+)
\end{equation}
è un semigruppo commutativo. Esso non è unitario in quanto non è presente l’elemento neutro (ossia lo zero).
\begin{equation}
\mathbb{N}_{0} (+), \space \mathbb{N} (\cdot)
\end{equation}
sono invece un monoidi (nel primo c’è lo zero che fa da elemento neutro per la somma, nel secondo c’è uno a fare da elemento neutro per il prodotto). Nessuno degli insiemi sopra indicati è un gruppo!

Vediamo invece qualche esempio di gruppo.
\begin{equation}
\mathbb{Z} (+), \space \mathbb{Z}_{m}(+)
\end{equation}
sono gruppi (abeliani), il primo degli interi relativi (ogni elemento ha per simmetrico il suo opposto e zero è l’elemento neutro), il secondo degli interi modulo m. Il primo insieme non è un gruppo se dotato della moltiplicazione, mentre il secondo lo è solo nel caso in cui m è un numero primo.