Le strutture algebriche – anelli, corpi, campi

Cos’è un anello?

L’Ideale massimale di una donna! – risponderebbe un matematico. Dunque… cominciamo col dire che sia gli anelli che gli ideali sono “oggetti matematici”, ma in questa sede ci occuperemo soltanto di anelli.

Abbiamo già visto in altra sede cos’è una struttura algebrica semplice; vediamo ora esempi un po’ più complessi dei gruppi. Innanzitutto un anello presenta due operazioni interne; dunque, per definizione, diremo:
\begin{equation}
A(+, \cdot) \space e’ \space un \space anello
\end{equation}
\begin{equation}
\Longleftrightarrow
\end{equation}
\begin{equation}
1.\space A(+)\space e’\space un\space gruppo\space abeliano;
\end{equation}

\begin{equation}
2.\space A(\cdot)\space e’\space un\space semigruppo\space;
\end{equation}

\begin{equation}
3.\space \cdot \space e’\space distributiva\space rispetto\space a\space +.
\end{equation}

Un anello si definisce:

1. commutativo se la seconda legge interna (indicata con il segno di prodotto) è commutativa;
2. unitario se esiste elemento neutro rispetto alla legge prodotto;
3. corpo se l’insieme degli elementi di S privato dell’elemento neutro rispetto alla somma è un gruppo rispetto alla moltiplicazione;
4. campo se esso è un corpo commutativo, cioè un corpo in cui l’operazione di prodotto è commutativa.

Importante: i segni di somma e prodotto sono indicativi e possono essere sostituiti da altri simboli.

Facciamo ora alcuni esempi.

\begin{equation}
\mathbb{Z}(+,\cdot)
\end{equation}
è un anello commutativo unitario detto anche anello degli interi (data l’assenza di divisori dello zero esso è anche un dominio d’integrità – vedi Nota alla fine). Esso non è un corpo (né, quindi, un campo) in quanto solo 1 e -1 sono simmetrizzabili.

Esempi di campi sono costituiti invece da
\begin{equation}
\mathbb{Q}(+,\cdot),\space \mathbb{R}(+,\cdot),\space \mathbb{C}(+,\cdot)
\end{equation}

Nota: dato un anello (o anche un altro tipo di struttura), si dice
\begin{equation}
a\neq 0\space divisore\space dello\space zero
\end{equation}
\begin{equation}
\Longleftrightarrow
\end{equation}
\begin{equation}
\exists b\neq 0\space tale\space che\space a\cdot b =0
\end{equation}