Le equazioni fratte.

Come si risolve un’equazione fratta? Diciamo innanzitutto che le equazioni fratte sono equazioni in cui l’incognita compare anche al denominatore. Quindi, in generale, un’equazione fratta, nella sua forma “fimale”, si presenta come un rapporto di polinomi p(x)/q(x) uguagliato a zero. A questo punto l’equazione non differisce molto da una equazione lineare, dove cioè l’incognita è presente solo al numeratore. Infatti, trattandosi di una frazione, ossia di un rapporto tra numeri, il rapporto p(x)/q(x) è uguale a zero se e soltanto se il NUMERATORE è uguale a zero. Pertanto l’unica cosa da fare è uguagliare il numeratore a zero, ossia risolvere l’equazione lineare p(x) = 0. Bisogna però imporre che il denominatore sia diverso da zero, trattandosi pur sempre di una frazione. Dunque se da una parte si risolve p(x) = 0, dall’altra si risolve q(x) ≠ 0. Le soluzioni accettabili sono quelle che si trovano dalla prima equazione p(x) = 0 che però non compaiono contemporaneamente come risultati della seconda disuguaglianza. Esempio:

In questa equazione dunque va imposto il numeratore uguale a zero ed il denominatore diverso da zero. Risolvendo si trova:

La soluzione x = 1 è dunque da scartare, in quanto il valore 1 annulla anche il denominatore, che in una frazione non può essere uguale a zero. Pertanto l’unica soluzione accettabile è x = -2.

Nel caso in cui siano presenti più frazioni differenti denominatori si procede facendo il minimo comune multiplo come una normale somma tra frazioni, riducendo il tutto alla forma iniziale vista prima p(x)/q(x) e risolvendo in maniera del tutto uguale.