Le disequazioni prodotto.

Come si risolve una disequazione prodotto? Le disequazioni sono di fondamentale importanza in matematica, come ad esempio nello studio di funzioni, dal calcolo del dominio al segno della derivata; insomma, sin dai primi passaggi si ha a che fare con disequazioni di tutti i tipi. Abbiamo già visto in altra sede come si studiano le disequazioni di primo grado facendo anche qualche esempio di vita quotidiana; vediamo ora cosa succede in circostanze diverse.

Cominciamo a discutere le disequazioni prodotto, ovvero disequazioni in cui non è presente un unico polinomio bensì il prodotto di più polinomi, per semplicità di esposizione considerati di primo grado (il discorso è lo stesso se ci sono funzioni differenti mischiate, tipo radici, funzioni trigonometriche, logaritmi e così via). La risoluzione di queste disequazioni è molto semplice: basta ricordare che il segno di un prodotto è determinato solo ed esclusivamente dal numero dei segni meno. Pertanto, se sono in numero pari il segno totale è più, altrimenti meno. Dunque non serve assolutamente fare il prodotto di tutti i polinomi presenti: basta solo studiare ogni singolo polinomio e fare infine un grafico. Facciamo un esempio molto semplice:

(x – 1)(4 – x) > 0

Sebbene il polinomio risultante sarebbe di secondo grado e quindi facilmente studiabile, cominciamo a familiarizzare con grafici e modi di fare che saranno molto più utili quando il grado delle disequazioni aumenterà o quando non ci sarà altra via (come nelle disequazioni fratte). Basta dunque studiare i due fattori:

x – 1 > 0 —> x > 1

4 – x > 0 —> x

A questo punto possiamo rappresentare i due risultati ottenuti su di un grafico e fare il prodotto con molta semplicità:

Interpretiamo il grafico: F1 è la rappresentazione del primo fattore. Per x è negativo, per x = 1 è uguale a zero, per x > 1 è positivo. Lo stesso discorso, con i dovuti cambiamenti, vale per il fattore F2. P rappresenta il prodotto dei due fattori: come è possibile vedere basta moltiplicare semplicemente i segni nelle varie “zone” dell’insieme R che si sono formate: x ≤ 1; 1 4. Prima di 1 il prodotto è negativo (meno per più fa meno); per x = 1 (idem per x = 4) il prodotto è nullo in quanto uno dei due fattori è uguale a zero. Tra 1 e 4 il prodotto è positivo; per x > 4 di nuovo negativo.

A questo punto basta vedere il segno della disequazioni per capire il risultato desiderato. Siccome c’è il segno di maggiore bisogna prendere l’intervallo in cui il prodotto è positivo (in questo caso 1 ). Gli estremi dell’intervallo vanno presi soltanto nel caso in cui viene richiesto espressamente dalla disequazione (segno maggiore o uguale oppure minore o uguale). IMPORTANTE: a prescindere dal segno della disequazione i singoli fattori vanno sempre studiati con il segno di maggiore (o maggiore o uguale).

Alla prossima!