La topologia naturale

Cos’è la topologia naturale?

Col termine topologia naturale si intende solitamente la topologia generata dalla metrica euclidea nell’insieme dei numeri reali, o comunque in un qualsiasi spazio reale n-dimensionale dotato della metrica euclidea. Ricordiamo innanzitutto com’è definita la metrica euclidea.
\begin{array}{c}
x_{0},x_{1} \in \mathbb{R} \\ d_{e}(x_{0},x_{1})=\vert x_{0}-x_{1}\vert
\end{array}

Notiamo che, in spazi con due o più dimensioni, al posto del modulo c’è la norma. Dalla definizione di distanza (e questo vale in ogni spazio metrico o pseudometrico) nasce il concetto di sfera di centro x e raggio R, laddove…

\begin{equation}
B(x,R)=\{y \in \mathbb{R} : d_{e}(x,y)
\end{equation}

Quel che è più importante è che, in uno spazio (pseudo)metrico, le sfere fungono da base per una topologia. La topologia naturale sui reali è quella in cui gli aperti sono tutti gli intervalli aperti e tutte le loro possibili unioni. È facile verificare che gli intervalli aperti fungono dunque da base, e altrettanto facile è verificare che una base ancor più privilegiata è quella in cui gli estremi degli intervalli sono numeri razionali e non reali: in questo caso la cardinalità della base diminuisce dalla potenza del continuo ala potenza del numerabile! Per concludere…
\begin{equation}
B=\{]q_{1},q_{2}[\space : \space (q_{1},q_{2})\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\}
\end{equation}
è una base per la topologia naturale. Infatti, ogni intervallo aperto, così come ogni semiretta (destra o sinistra) aperta, così come l’intero insieme dei numeri reali o una qualsiasi unione di intervalli, è esprimibile come unione degli intervalli ad estremi razionali sopra descritti. Osserviamo infine che un intervallo aperto è una sfera che ha per centro il punto medio dei due punti e per raggio la semidistanza tra i due punti.

Importante: la base sopra descritta non è una topologia! Infatti, se prendiamo ad esempio il caso bidimensionale, l’intersezione di due sfere non è affatto una sfera (come si vede dalla figura in alto) ma è tuttavia esprimibile come unione di sfere!

Immagine via resumbrae.com