La retta – formule

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La retta nel piano cartesiano è uno dei primi punti della geometria analitica che si studia. Tuttavia è uno dei punti fondamentali in quanto la maggior parte dei problemi che si affrontano nei periodi successivi sono basati sul calcolo di tangenti, secanti e coefficienti vari dipendenti comunque da rette. Pertanto è bene tenere a mente un po’ di formule e soprattutto saperle usare. Cominciamo col dire che nell’equazione di una retta occorrono sempre due parametri, per cui sono necessarie almeno due condizioni (e solo due) per ricavare l’equazione di una retta. Ricordiamo che l’equazione di una retta ha due forme usate con la stessa frequenza, ossia quella esplicita (y = mx +q), dove sono messi in evidenza il coefficiente angolare m e l’intercetta q, e quella forma normale, ossia ax + by + c = 0. Vediamo comunque quali possono essere alcune delle condizioni:
– passaggio per due punti;
– passaggio per un punto e coefficiente angolare;
– passaggio per un punto e parallela (o perpendicolare) ad una retta data (che coincide, volendo, col punto precedente);
– passaggio per un punto e tangente ad una curva assegnata.

Dati due punti con ascisse (e ordinate) differenti, la retta passante per essi si trova facilmente con la seguente formula…
\begin{array}{c}
A(x_{0},y_{0}),\space B(x_{1}, y_{1}) \\
r: \frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}} = \frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}
\end{array}
Come già detto, bisogna fare attenzione al fatto che le ascisse dei due punti siano differenti tra loro, così come le ordinate, altrimenti si rischia di trovare uno zero al denominatore. Questo non significa ovviamente che un punto non possa avere coordinate uguali, cioè essere del tipo (1, 1). Nel caso in cui i punti abbiano una delle coordinate uguali (supponiamo siano (1,0) e (1,4)) si ha un’equazione molto semplice, cioè
\begin{equation}
(1) \space x=1
\end{equation}
Nel caso in cui è l’altra coordinata a coincidere ovviamente l’equazione sarà del tipo y = k. Nel caso (1) la retta è parallela all’asse y, nel secondo caso parallela all’asse x.

Si usa un modo differente quando sono noti un punto ed il coefficiente angolare. Infatti…
\begin{array}{c}
P(x_{0},y_{0}), m… \\
r:\space y-y_{0} = m(x-x_{0})
\end{array}

Nel caso in cui si conosce una parallela o una perpendicolare si usa la stessa formula, ricordando che…
\begin{array}{c}
m_{\parallel} = m \space (coefficiente\space angolare\space parallela) \\
m_{\perp} = -\frac{1}{m} \space (coefficiente\space angolare\space perpendicolare)
\end{array}

Nel caso in cui una delle condizioni è la tangenza ad una curva assegnata bisogna ricordare che la condizione di tangenza si esprime analiticamente mettendo a sistema la curva e la retta e imponendo che il determinante dell’equazione che si ricava dopo la sostituzione (non il determinante del sistema!) sia uguale a zero.
Nel caso in cui si abbiano già conoscenze di analisi è utile ricordare che il valore della derivata di una funzione valutata in punto è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva nel punto.

Immagine via flickr.com

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