La pseudometrica

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Cos’è una pseudometrica?

Abbiamo già visto precedentemente cos’è una metrica discorrendo principalmente delle sue proprietà. Tuttavia in matematica occorre talvolta indebolire alcune proprietà per accogliere una gamma più ampia di spazi che verifica determinate leggi, o semplicemente accade che determinati spazi verificano proprietà più deboli rispetto a quelle già esistenti. Una pseudometrica è una metrica debole, se così si può dire. Qual è la differenza tra pseudometrica e metrica? Vediamo.
\begin{array}{c}
d:S\times S \rightarrow \mathbb{R}^{+}_{0} \space e’ \space una\space pseudometrica
\\\overset{\space def}{\Longleftrightarrow} \\
{1.\space d(x,x)=0;} \\{2.\space d(x,y)=d(y,x),\space \forall x,y \in S} \\ 3. \space d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y),\space \forall x,y,z \in S\end{array}

Qual è la differenza dunque? Gli assiomi 2. e 3. sono esattamente uguali a quelli di una metrica. Cambia però il primo, che in questo caso è nettamente più debole. In che senso? Il primo assioma, in questo caso, ci dice soltanto che la distanza tra un punto e se stesso è zero; non ci assicura dunque che due punti a distanza nulla coincidono. In pratica, è possibile che due punti distinti si trovino a distanza nulla, cosa non vera nel mondo reale, ma che può accadere in qualche realtà matematica.

Facciamo un esempio. Supponiamo di avere uno spazio S in cui sia presente più di un punto. Poniamo:
\begin{equation}
d(x,y)=0,\space \forall x,y \in S
\end{equation}

La funzione appena definita è una pseudometrica, in quanto verifica i tre assiomi e soprattutto non verifica l’assioma 1 di una metrica (la distanza è sempre nulla anche per coppie di punti distinti). Facciamo un altro esempio:

\begin{equation}
d(x,y)=\{\begin{array}{c} {\space 0, \space se \space x=y;} \\{1,\space se\space x \ne y}\end{array}
\end{equation}

La funzione d in questo caso è una metrica, in quanto, oltre a verificare banalmente gli assiomi 2 e 3, verifica l’assioma 1 (due punti sono a distanza nulla se e solo se coincidono).

Immagine via blog.rippachtal.de

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