La parabola – formule

Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.

A partire dalla definizione è facile trovare l’equazione di una parabola. Consideriamo il caso in cui la direttrice sia parallela all’asse x, e siano fissati dunque la direttrice ed un punto…
\begin{array}{c}
y+k=0;\space F(x_{0},y_{0});\space P(x,y) \\
|y+k| = \sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}} \Longrightarrow \\
y^{2}+2ky+k^{2} = x^{2}-2xx_{0} + x_{0}^{2} + y^{2}-2yy_{0}+y_{0}^{2} \Longrightarrow \\
2ky+2yy_{0}=x^{2}-2xx_{0} + x_{0}^{2} + y_{0}^{2} – k^{2} \Longrightarrow \\
y(2k+2y_{0})=x^{2}-2xx_{0} + x_{0}^{2} + y_{0}^{2} – k^{2} \Longrightarrow \\
y= \frac{1}{2k+2y_{0}}x^{2} +\frac{-2x_{0}}{2k+2y_{0}}x + \frac{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} – k^{2}}{2k+2y_{0}}
\end{array}

La divisione per il termine (2k+2y_(0)) è fattibile in quanto il fuoco non appartiene alla direttrice. Se invece il fuoco appartenesse alla direttrice si tratterebbe di parabola degenere rappresentata dalla direttrice stessa. Ad ogni modo, posti…
\begin{array}{c}
a=\frac{1}{2k+2y_{0}} \\ b=\frac{-2x_{0}}{2k+2y_{0}} \\ c=\frac{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} – k^{2}}{2k+2y_{0}}
\end{array}
si ottiene l’equazione canonica di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y, cioè:
\begin{equation}
y=ax^{2} + bx + c
\end{equation}
Da questa equazione è possibile ricavare tutti i dati di una parabola, cioè vertice, fuoco, asse di simmetria, direttrice. Tralasciando le dimostrazioni, si ha infatti:
\begin{array}{c}
V(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}) \space (vertice) \\
F(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}) \space (fuoco) \\
x=-\frac{b}{2a} \space (asse \space di\space simmetria) \\
y=-\frac{1+\Delta}{4a} \space (direttrice) \\
con \space \Delta = b^{2} – 4ac
\end{array}

Seguendo sempre la definizione, considerando però una direttrice parallela all’asse y, si ha un’equazione differente per una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x, cioè:
\begin{equation}
x=ay^{2} + by + c
\end{equation}
Oltre all’equazione cambiano anche alcune formule; infatti:
\begin{array}{c}
V(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}) \space (vertice) \\
F(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}) \space (fuoco) \\
y=-\frac{b}{2a} \space (asse \space di\space simmetria) \\
x=-\frac{1+\Delta}{4a} \space (direttrice) \\
con \space \Delta = b^{2} – 4ac
\end{array}