La metrica di Manhattan

Cos’è la metrica di Manhattan?

La metrica di Manhattan, o del taxi, nasce ispirando il suo nome ai percorsi obbligati di un taxi (le Street e le Avenue) nel percorrere le strade di una località tipicamente cartesiana come Manhattan.

Abbiamo già visto nell’articolo introduttivo alle metriche che non sempre la distanza euclidea, quella che ci dà la lunghezza del segmento congiungente due punti, è la più esauriente. E abbiamo anche visto, infatti, che in un luogo come Manhattan essa è del tutto inespressiva! Volendo infatti andare da un punto A ad un punto B dobbiamo per forza percorrere la Avenue che ci porta all’altezza del punto B e poi la Street che ci conduce esattamente fino al punto B… o viceversa (prima la Street e poi la Avenue). Cosa succede dunque dal punto di vista matematico? Se abbiamo i punti:
\begin{equation}
A(x_{A},y_{B}),\space B(x_{B},y_{B})
\end{equation}

e dobbiamo andare dall’uno all’altro (ad es. da A a B) dobbiamo prima percorrere la strada parallela all’asse X che congiunge il punto A con un punto che ha la stessa ascissa di B, quindi salire (o scendere) fino al punto B percorrendo una strada parallela all’asse Y… o viceversa! In ognuno dei due casi la distanza è la stessa, infatti:
\begin{equation}
d(A,B)\overset{def}{=}\left\vert x_{A} -x_{B}\right\vert +\left\vert y_{A}-y_{B}\right\vert
\end{equation}

È facile provare che si tratta di una metrica, cioè che la funzione d appena definita gode delle proprietà di una metrica. Volendo infine dare la stessa definizione in uno spazio n-dimensionale, dati
\begin{equation}
A(x_{A,1},…,x_{A,n}),\space B=(x_{B,1},…,x_{B,n})
\end{equation}
si ha:
\begin{equation}
d(A,B)\overset{def}{=}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left\vert
x_{A,i}-x_{B,i}\right\vert
\end{equation}

Foto via www.cynic.org.uk