La distanza euclidea

pitagora

Cos’è la distanza euclidea?

Volendo rendere la cosa più semplice di quanto si possa pensare, la distanza euclidea è semplicemente la misura del segmento che congiunge due punti (dato che, per parlare di distanza, bisogna per forza far riferimento a due punti e due soltanto!).

Volendo formalizzare, la metrica euclidea è quella che viene fuori dal prodotto scalare euclideo (o standard) negli spazi vettoriali reali. Tralasciando per ora il prodotto scalare, cominciamo ad osservare cosa succede in due dimensioni. Per individuare un punto su un piano c’è bisogno di due coordinate (ascissa e ordinata); vale lo stesso, ad esempio, per un punto sulla superficie terrestre (facendo a meno dell’altitudine), dove servono latitudine e longitudine (anche se per le distanze su di una superficie curva non si può parlare di segmenti congiungenti). A questo punto la distanza tra due punti assegnati viene dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate omonime… insomma, più difficile a dirlo che a farlo! Infatti, assegnati;
\begin{equation}
\begin{array}{c}
A(x_{A}, y_{A})\\ B(x_{B}, y_{B})\end{array}\}d_{e}(A,B)=\sqrt{(x_{A}-x_{b})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}
\end{equation}

Insomma, si tratta di applicare nient’altro che il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolodistanza che ha per ipotenusa il segmento AB, ricordando che la misura dei cateti si calcola come il valore assoluto della differenza delle coordinate omonime, anche se facendo il quadrato nella formula sopra scritta non c’è più bisogno del valore assoluto.

Nel caso in cui consideriamo uno spazio euclideo n-dimensionale la formula non cambia, basta estendere la somma a tutte le coordinate. Insomma:
\begin{equation}
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
A(x_{1,A},…,x_{n,A})\\ B(x_{1,B},…,x_{n,B})\end{array}\}\Longrightarrow\\\Longrightarrow
d_{e}(A,B)=\sqrt{(x_{1,A}-x_{1,B})^{2}+…+(x_{n,A}-x_{n,B})^{2}}
\end{array}
\end{equation}

È chiaro che, nel caso di uno spazio n-dimensionale, non è possibile dare alcuna illustrazione alla formula data!

Immagine via mlqknits.typepad.com

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