La circonferenza – formule

circle

Cos’è la circonferenza?

Per definizione, la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. Quindi, per avere una circonferenza nel piano basta fissare un punto (il centro) e una misura positiva (il raggio) o nulla, nel qual caso si dice che la circonferenza è degenere (è l’unico caso in cui il centro appartiene alla circonferenza).

Prima di addentrarci nelle formule diciamo che circonferenza e cerchio non sono la stessa cosa: la circonferenza è soltanto una curva (semplice, chiusa e limitata) che divide il piano in due parti: una esterna, infinita, ed una interna che, unita alla circonferenza, prende appunto il nome di cerchio.

Vediamo ora come si calcola l’equazione di una circonferenza, le coordinate del centro, la misura del raggio e quant’altro. Cominciamo dalla definizione. Assegnato un centro ed un raggio di misura positiva, la circonferenza è…

\begin{array}{c}
C(\alpha, \beta);\space r \geq 0 \\
\sqrt{(x-\alpha)^{2} + (y-\beta)^{2}} = r \Longrightarrow \\
(1) \space (x-\alpha)^{2} + (y-\beta)^{2} = r^{2} \Longrightarrow \\
x^{2} -2\alpha x + \alpha^{2} + y^{2} – 2\beta y +\beta^{2} = r^{2} \Longrightarrow \\
x^{2} + y^{2} -2\alpha x – 2\beta y + \alpha^{2} +\beta^{2} -r^{2} = 0
\end{array}

Posti dunque…
\begin{array}{c}
a= -2\alpha \\
b = -2\beta \\
c= \alpha^{2} +\beta^{2} -r^{2}
\end{array}
l’equazione prende la seguente forma:
\begin{equation}
(2) \space \Gamma : x^{2} + y^{2} +ax +by +c = 0
\end{equation}

Tuttavia, se è vero che l’equazione (1) rappresenta sempre una circonferenza, non è detto che la (2) faccia altrettanto. Infatti, dalle posizioni di a, b e c fatte sopra si hanno immediatamente le formule per calcolare le coordinate del centro e la misura del raggio:
\begin{array}{c}
\alpha = -\frac{a}{2} \\
\beta = -\frac{b}{2} \\
r= \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4} – c}
\end{array}

Tuttavia, nel caso in cui c sia tale che
\begin{equation}
\frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4} – c
\end{equation}
l’equazione (2) non rappresenta più una circonferenza in quanto il valore del raggio non sarebbe calcolabile (sotto radice compare un numero negativo, per cui l’operazione fornirebbe soltanto valori immaginari e non reali!).

Ricordiamo infine che, noto il raggio, le formule per il calcolo della lunghezza della circonferenza e dell’area del cerchio sono:
\begin{array}{c}
L_{\Gamma} = 2\pi r \\
Area_{\Gamma} = \pi r^{2}
\end{array}

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