Iperbole – formule

Abbiamo già visto come ricavare l’equazione di una iperbole dalla definizione. Vediamo ora come ricavare le altre caratteristiche a partire dall’equazione. Ricordiamo che stiamo considerando il caso in cui i fuochi sono sull’asse delle x. Ricordiamo inoltre l’equazione e le posizioni fatte durante la dimostrazione:
\begin{array}{c}
\Gamma:\space \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\
b^{2} = c^{2} – a^{2}
\end{array}

Siccome c è l’ascissa (in valore assoluto) dei fuochi si ha:
\begin{equation}
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
\end{equation}

Molto importanti per disegnare correttamente un’iperbole sono gli asintoti; le equazioni si ricavano molto semplicemente dall’equazione canonica dell’iperbole, in quanto:
\begin{array}{c}
a_{1}:\space y=\frac{b}{a}x \\
a_{2}:\space y=-\frac{b}{a}x
\end{array}

Infine, analogamente all’ellisse, si definisce l’eccentricità come il rapporto:
\begin{equation}
e = \frac{c}{a}
\end{equation}

Nel caso in cui a = b si dice che l’iperbole è equilatera. In particolare si trova un’equazione del tipo:
\begin{equation}
x^{2} – y^{2} = a^{2}
\end{equation}
e gli asintoti sono le rette y = x (bisettrice 1° – 3° quadrante) e y = -x (bisettrice 2° – 4° quadrante). In questo caso, operando una opportuna rotazione degli assi è possibile ottenere un’equazione molto semplice, del tipo
\begin{equation}
xy=k \Longleftrightarrow y = \frac{k}{x}
\end{equation}
Un altro tipo di iperbole è costituito da quella nota come funzione omografica, cioè:
\begin{equation}
y=\frac{ax+b}{cx+d}
\end{equation}
Nel caso in cui c = 0 la funzione si riduce ad una retta; in caso contrario la funzione descrive un’iperbole che ha per asintoti le rette:
\begin{equation}
a_{1}:\space x=-\frac{d}{c}; \space a_{2}:\space y=\frac{a}{c}
\end{equation}
e come centro il punto
\begin{equation}
C(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c})
\end{equation}

In figura è rappresentata l’iperbole (ossia la funzione omografica) di equazione:
\begin{equation}
y=\frac{2x-1}{x+2}
\end{equation}
con gli asintoti ed il centro messi in evidenza.