Iperbole – equazione

iperbole

Si definisce iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza da due punti fissi detti fuochi.

Nello studio dell’iperbole in geometria analitica i fuochi sono posti solitamente su uno dei due assi; questo non lede la generalità in quanto, presi due punti qualsiasi, è sempre possibile operare una rototraslazione degli assi e fare in modo che i due fuochi cadano su uno di essi. Pertanto, presi…
\begin{array}{c}
F'(-c,0); \space F(c,0); \space P(x,y) \\
\overline{PF’} – \overline{PF} = 2a \Longrightarrow \\
\sqrt{(x-c)^{2} + y^{2}} – \sqrt{(x+c)^{2} + y^{2}} = 2a
\end{array}

Ripetendo gli stessi calcoli fatti per l’ellisse, cioè isolare una delle due radici, elevare al quadrato, isolare l’ulteriore radice ed elevare di nuovo al quadrato, si ottiene:
\begin{equation}
(c^{2}-a^{2})x^{2} – a^{2}y^{2} = a^{2}(c^{2}-a^{2})
\end{equation}
Siccome 2c > 2a è possibile porre
\begin{array}{c}
b^{2} = c^{2}-a^{2} \Longrightarrow b^{2}x^{2} – a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2} \\
\Longrightarrow \space (1) \space \frac{x^{2}}{a^{2}} – \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1
\end{array}

L’equazione (1) prende il nome di equazione canonica o normale dell’iperbole. Dall’equazione è facile dedurre:
1. L’iperbole è simmetrica rispetto agli assi coordinati; ciò vuol dire che:
\begin{equation}
P(x,y) \in \Gamma \Longrightarrow (-x,y), \space (x, -y) \in \Gamma
\end{equation}
2. L’iperbole è simmetrica rispetto all’origine degli assi; ciò vuol dire che:
\begin{equation}
P(x,y) \in \Gamma \Longrightarrow (-x,-y) \in \Gamma
\end{equation}
3. L’iperbole è tutta esterna alla striscia del piano cartesiano delimitata dalle rette x = -a, x = a; infatti
\begin{equation}
y^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}(x^{2}-a^{2}) \Longrightarrow x\leq -a \lor x \geq a
\end{equation}
4. L’iperbole incontra solo l’asse x in due punti, A’ (-a,0) e A (a,0); l’asse x viene detto asse trasverso; nel caso i cui i fuochi si trovano sull’asse y vale lo stesso discorso con y al posto di x.

Vedremo successivamente le formule per calcolare i fuochi e gli asintoti, dando inoltre uno sguardo al caso dell’iperbole equilatera.

In figura l’iperbole di equazione
\begin{equation}
x^{2} – \frac{y^{2}}{4}=1
\end{equation}

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