Integrazione per parti

Cos’è il metodo di integrazione per parti?

È uno dei diversi metodi di integrazione che si usa solitamente per ridurre l’integrale del prodotto di due funzioni in un integrale più semplice. Esso deriva dalla seguente semplice osservazione. Consideriamo la derivata del prodotto di due funzioni:

\begin{equation}
D(f\cdot g) = f\cdot D(g) + D(f)\cdot g
\end{equation}

dall’uguaglianza dei due membri risulta chiaro che, integrando ambo i membri (rispetto alla stessa variabile!) si ottiene lo stesso risultato (a meno di una costante), per cui:

\begin{equation}
\int D(f\cdot g)dx = \int [f\cdot D(g) + D(f)\cdot g]dx
\end{equation}

\begin{equation}
\Longrightarrow f\cdot g = \int [f\cdot D(g) + D(f)\cdot g]dx
\end{equation}
\begin{equation}
\Longrightarrow \int [f\cdot D(g)]dx = f\cdot g – \int [D(f)\cdot g]dx
\end{equation}

L’ultima relazione trovata ci dice che l’integrale del prodotto di una funzione non derivata (in questo caso la f) per una derivata (in questo caso la g) è uguale al prodotto delle due funzioni (entrambe non derivate) meno l’integrale della prima derivata (la f) per la seconda non derivata (la g)

Facciamo un esempio.

\begin{equation}
\int xe^{x}dx = xe^{x} -\int e^{x}dx = xe^{x}-e^{x}+c
\end{equation}
\begin{equation}
\Longrightarrow \int xe^{x}dx = e^{x}(x-1)+c
\end{equation}

In questo caso si è usato la funzione x come funzione non derivata e l’esponenziale come funzione derivata. Non è un errore scambiare le funzioni, solo che ne risulterebbe un integrale ancor più complesso del primo (e non risolvibile a meno di fare un passo indietro!).

In alcuni casi è possibile considerare anche la costante 1 come funzione derivata… provare per esempio a svolgere l’integrale del logaritmo di x!