Insieme delle parti
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Cos’è l’insieme delle parti?
In matematica, dato un insieme S, l’insieme delle parti P(S) è l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi. Diamo la definizione. Dato un insieme S
\begin{equation}
P(S) = \{x \mid x \subseteq S \}
\end{equation}
Facciamo un esempio.
\begin{array}{c}
S=\{1,2,3\} \\
P(S) = \{ \{1\},\{2\},\{3\}, \{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\},\emptyset \}
\end{array}
Osserviamo quanto segue:
\begin{array}{c}
\{1\} \subseteq S \\
\{1\} \in P(S)
\end{array}
Nel caso dell’insieme delle parti, dunque, gli elementi sono a loro volta insiemi; tuttavia, mentre nel primo caso sono sottoinsiemi e quindi contenuti, nel secondo caso sono elementi e quindi appartengono all’insieme delle parti. Ancora… nella definizione non è richiesto che l’insieme S sia non vuoto; infatti…
\begin{array}{c}
P( \emptyset ) = \{ \emptyset \}
\end{array}
Da notare che, mentre l’insieme vuoto non contiene elementi (ed ha quindi cardinalità pari a zero), il suo insieme delle parti contiene l’insieme vuoto come elemento e quindi ha cardinalità pari a uno. In generale, dato un insieme S:
\begin{equation}
|S|= n \Longrightarrow |P(S)| = 2^{n}
\end{equation}
Questo vale per ogni insieme. Pertanto si ha che:
\begin{equation}
|S| strettamente minore della cardinalità del suo insieme delle parti. Questo risultato è importantissimo per gli insiemi infiniti: infatti, mentre un insieme infinito può essere equipotente ad una sua parte propria (cosa impossibile per gli insiemi finiti), esso non può comunque mai essere equipotente al suo insieme delle parti. Tuttavia di questo parleremo in un’altra sede!
