Il fattoriale: definizione ed esempi


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Quali sono i possibili quiz del compito di matematica dell’esame di maturità?

La seconda prova dell’esame di maturità per il liceo scientifico prevede la risoluzione di un problema di matematica (che prevede in genere argomenti di analisi, geometria analitica, calcolo di aree e volumi) e di cinque quiz che spaziano dalle domande di teoria alla risoluzione di semplici esercizi.
Una domanda molto frequente è quella basata sui coefficienti binomiali. Molte volte questo argomento è tralasciato per mancanza di tempo: tuttavia risolvere un esercizio relativo ai coefficienti binomiali è cosa molto semplice, per cui vale la pena perderci mezz’ora (per impararlo)… e due minuti per farlo! Partiamo dalla definizione di fattoriale; vedremo poi in un altro post la definizione di coefficiente binomiale e la risoluzione di qualche semplice esercizio.
\begin{equation}
n!=\{ \begin{array}{c}
1,\space se\space n=0; \\
n\cdot (n-1)! \space altrimenti
\end{array}
\end{equation}

Come si interpreta tale definizione? In effetti essa non dà alcuna indicazione per calcolare il fattoriale di un numero. La definizione sopra è un esempio di definizione ricorsiva; ciò significa che la definizione data per un numero (naturale) si basa sulla definizione data per il precedente, a patto che vi sia una base (cioè una definizione data per certa e non per ricorsione) che dia un valore certo e a cui fermarsi… altrimenti la ricorsione diventa un processo infinito! Tuttavia, riassumendo, il fattoriale di un numero naturale non è altro che il prodotto di tutti i numeri naturali fino al numero stesso. Ad esempio: 5! = 5*4*3*2*1. Come si interpreta la definizione ricorsiva?
5! = 5*4!;
4! = 4*3!
3! = 3*2!
2! = 2*1!
1! = 1*0!

A questo punto, conoscendo il valore di 0! è possibile operare una sostituzione all’indietro e calcolare i valori dei fattoriali precedenti fino a quello richiesto.
Una proprietà che discende dalla definizione è la seguente:
\begin{equation}
n! = \frac{(n+1)!}{n+1}
\end{equation}
Questa può essere molto utile nello svolgimento di semplici esercizi relativi ai fattoriali ed ai coefficienti binomiali.

Immagine via flickr.com

Continua: Il coefficiente binomiale





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