I teoremi alla maturità – Unicità del limite

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Il teorema di unicità del limite è uno dei teoremi maggiormente richiesti agli esami di stato, sia all’orale che tra le domande della prova di matematica, nonché (ovviamente) un teorema fondamentale dell’analisi matematica. Cerchiamo di darne una dimostrazione semplice. Abbiamo già visto in un altro post la definizione di convergenza di una successione di numeri reali. Il teorema che ci accingiamo a dimostrare afferma che se una successione converge, allora essa converge ad uno ed un sol limite.
La dimostrazione è fatta per assurdo, supponendo che la successione converga a due limiti differenti. Sia dunque…
\begin{array}{c}
\{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}},\space a_{n} \in \mathbb{R} \space \forall n\in \mathbb{N} \\
P.A.\space a_{n} \rightarrow a \space \And \space a_{n} \rightarrow b,\space con\space a\ne b
\end{array}

Poniamo:
\begin{equation}
\epsilon = \frac{|a-b|}{2}
\end{equation}
Per la definizione di convergenza si ha:
\begin{array}{c}
\exists \nu_{1} \in \mathbb{N} \space t.c.\space |a_{n}-a| \nu_{1} \\
\exists \nu_{2} \in \mathbb{N} \space t.c.\space |a_{n}-b| \nu_{1} \\
Sia \space \nu = \max(\nu_{1},\nu_{2})
\end{array}

Facendo delle semplici osservazioni di carattere algebrico si ha:
\begin{array}{c}
|a-b| \overset{(1)}{=} |a-a_{n}+a_{n}-b| \overset{(2)}{\leq}
|a-a_{n}|+|a_{n}-b| \overset{(3) per\space n>\nu}{
Ricordando\space che\space 2\epsilon = \frac{2|a-b|}{2} = |a-b| \\
si\space ha:\space |a-b|
\end{array}
che è, ovviamente, un assurdo. L’assurdo scaturisce dall’aver supposto l’esistenza di due limiti differenti, pertanto se una successione converge, essa ammette uno ed un sol limite.

Per quanto riguarda i passaggi fatti nella dimostrazione osserviamo:
(1) – si somma e si aggiunge a_n all’interno del valore assoluto, per cui non si ha alcuna variazione;
(2) – si separa il valore assoluto, per cui si applica la disuguaglianza triangolare;
(3) – si applica la definizione di limite.

Immagine via flickr.com

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