I teoremi alla maturità – teorema fondamentale del calcolo integrale

integral

Il teorema fondamentale del calcolo integrale, detto anche teorema di Torricelli – Barrow, è un importantissimo teorema di analisi matematica che assicura l’integrale indefinito di una funzione (laddove esiste, ovviamente) non è altro che la sua primitiva, ossia quella funzione la cui derivata coincide con la funzione di partenza. Vediamo in formule. Sia…
\begin{array}{c}
f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \space continua \\
Sia\space F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt \\
\overset{Tesi}{\Longrightarrow}F'(x) = f(x),\space \forall x\in [a,b]
\end{array}

La dimostrazione consta nel calcolare la derivata della funzione F(x) in un punto qualsiasi dell’intervallo [a,b]. Fissato quindi un arbitrario punto x dell’intervallo [a,b], e supposto, senza ledere la generalità, h > 0, osserviamo che
\begin{equation}
\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t)dt
\end{equation}

Per il secondo teorema della media
\begin{array}{c}
\exists x_{h} \in [a,b] : \int_{x}^{x+h} f(t)dt = f(x_{h})h \\
\Longrightarrow \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t)dt = \frac{1}{h} f(x_{h})h = f(x_{h})
\end{array}

È chiaro dunque che, considerando il limite per h che tende a zero si ha:
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = F'(x) \\
\lim_{h \rightarrow 0} f(x_{h}) = f(x)
\end{array}
\Longrightarrow F'(x) = f(x)
\end{equation}
…come volevasi dimostrare.
Osserviamo in conclusione che, per h che tende a zero, il punto x_h tende ad x in quanto appartenente all’intervallo [x, x+h] che si riduce al solo punto x
Un teorema quasi di moda tra i commissari di matematica agli esami di stato!

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