I teoremi alla maturità – teorema di Weierstrass

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Il teorema di Weierstrass è di utilità fondamentale per la dimostrazione dei teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle, Lagrange, Cauchy). Il teorema afferma quanto segue:
Una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b] ed ivi continua ammette massimo e minimo assoluti.

La dimostrazione prevede l’uso di argomenti solitamente non studiati alle scuole superiori (come ad esempio il concetto di sottosuccessione o di compattezza); tuttavia si può dare un accenno di dimostrazione osservando quanto segue.
Solitamente, conoscendo la struttura topologica di un insieme A, ed avendo per ipotesi la continuità di una funzione f sul suddetto insieme, non si può dire nulla sul codominio della funzione stessa, ossia dell’insieme f(A). Tuttavia, se l’insieme A è un intervallo, si può dire con certezza che l’insieme immagine f(A) è a sua volta un intervallo. Ancora, se l’insieme A è un intervallo chiuso e limitato, allora anche f(A) sarà un intervallo chiuso e limitato, tale quindi da ammettere un valore massimo ed un valore minimo (che è la tesi del teorema di Weierstrass).

Il teorema di Weierstrass ha comunque una formulazione più generale: esso dice che una funzione continua definita in un insieme compatto ammette sempre un minimo ed un massimo; nel nostro caso c’è da osservare che gli intervalli chiusi e limitati sono sottoinsiemi compatti dell’insieme dei numeri reali.

Immagine via flickr.com

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