I teoremi alla maturità – Teorema di Rolle

Il teorema di Rolle è uno dei teoremi maggiormente chiesti agli esami di stato, poiché in esso confluiscono i concetti fondamentali di continuità e derivazione e si pone quindi come una fonte piuttosto ricca di domande. Ovviamente è, prima di tutto, un importante teorema di analisi matematica. Vediamo cosa dice.
Ipotesi:
\begin{array}{c}
f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \\
f\space continua\space in\space [a,b] \\
f\space derivabile\space in \space (a,b) \\
f(a) = f(b)
\end{array}
Tesi:
\begin{equation}
\exists c\in (a,b) : f'(c)=0
\end{equation}

Riassumendo, una funzione f definita in un intervallo chiuso e limitato e ivi continua, derivabile all’interno dell’intervallo e tale da assumere gli lo stesso valore agli estremi dell’intervallo stesso (f(a) = f(b)), ammette almeno un punto interno all’intervallo in cui la derivata si annulla.

Dimostrazione.
Per il Teorema di Weierstrass la funzione ammette massimo e minimo assoluti in [a,b]. Siano essi M ed m.
– Caso uno.
Il massimo ed il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi. Dall’uguaglianza f(a) = f(b) si ha quindi
\begin{equation}
m=f(a)=f(b)=M
\end{equation}
Questo implica che la funzione è costante su tutto l’intervallo, per cui la sua derivata è nulla in ogni punto dell’intervallo. Precisiamo che la funzione è costante in quanto qualsiasi altro valore assunto dalla funzione sarebbe maggiore del massimo o minore del minimo, il che è assurdo.

– Caso due.
Almeno uno tra il massimo ed il minimo è interno all’intervallo. Supponiamo quindi, senza ledere la generalità, che…
\begin{equation}
M=f(c),\space c\in (a,b)
\end{equation}
Per il Teorema di Fermat sui punti stazionari si ha che f'(c) = 0.
Pertanto in ognuno dei due casi il teorema è verificato.

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