I teoremi alla maturità – Teorema di Lagrange

Il teorema di Lagrange è un altro teorema piuttosto gettonato agli esami di stato. Esporre in maniera dettagliata questo teorema vi dà l’opportunità di provare le vostre conoscenze di analisi e geometria analitica allo stesso tempo. Cosa dice il teorema di Lagrange?
Sia data una…
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \\
f\space continua\space in\space [a,b] \\
f\space derivabile\space in\space (a,b) \\
\end{array}
\Longrightarrow \exists c\in (a,b) : f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\end{equation}

Questa, ovviamente, è la formulazione analitica. Dal punto di vista geometrico si ha che, nelle ipotesi fatte (continuità della funzione in un intervallo chiuso e limitato e derivabilità al suo interno), esiste almeno un punto all’interno dell’intervallo in cui la retta tangente (alla funzione in quel punto) è parallela alla retta che congiunge i due estremi della funzione, ossia i punti (a, f(a)) e (b, f(b)). Il parallelismo si traduce nel fatto che la derivata in quel punto prende lo stesso valore del coefficiente angolare della retta che congiunge i due estremi. Vediamo come si dimostra questo teorema.
Dimostrazione.

Osserviamo innanzitutto che la retta che congiunge i due estremi ha la seguente equazione:
\begin{equation}
\frac{y-f(a)}{f(b)-f(a)}=\frac{x-a}{b-a} \Longleftrightarrow y= f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
\end{equation}

Consideriamo quindi la seguente funzione:
\begin{equation}
g(x)=f(x)- [f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)]
\end{equation}

che rappresenta nient’altro che la differenza tra la funzione f(x) e la retta di cui sopra. È facile verificare che g(a) = 0 = g(b); è altrettanto facile verificare che la funzione g(x) è continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Pertanto essa ricade nelle ipotesi del Teorema di Rolle, per cui
\begin{equation}
\exists c\in (a,b) : g'(c)=0
\end{equation}
Calcoliamo dunque la derivata prima di g(x).
\begin{equation}
g'(x) = f'(x) – \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\end{equation}
Nel punto c si ha pertanto:
\begin{equation}
g'(c) = 0 = f'(c) – \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Longleftrightarrow f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\end{equation}
e quindi il teorema è dimostrato.

Osserviamo che il teorema di Rolle può essere visto come una conseguenza del teorema di Lagrange appena dimostrato: dall’ipotesi aggiuntiva f(a) = f(b) scaturisce immediatamente che la derivata nel punto c è nulla… proprio come afferma il teorema di Rolle.