I teoremi alla maturità – Teorema di Fermat


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Cosa dice il Teorema di Fermat?
Cominciamo col dire che di teoremi di Fermat ne esistono diversi. Il più famoso è sicuramente quello definito come ultimo teorema di Fermat, dimostrato nel 1997 da Andew Wiles, che afferma che un’equazione del tipo
\begin{equation}
a^{n}+b^{n}=c^{n}
\end{equation}
con n numero naturale, non ammette soluzioni intere positive per n > 2

Tuttavia non è di questo teorema che vogliamo parlare in questa sede. Il Teorema di Fermat sui punti stazionari afferma che in un punto stazionario, ossia in un punto di massimo o minimo relativo, la derivata prima è nulla. Il teorema fornisce in pratica una condizione necessaria affinché un punto sia di massimo o minimo relativo. Riassumendo in simboli:
\begin{equation}
\{\begin{array}{c}
f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \\
x_{0} \in (a,b) \\
f\space derivabile\space in\space x_{0} \\
x_{0} \space massimo\space o\space minimo\space relativo
\end{array}
\Longrightarrow f'(x_{0})=0
\end{equation}

Dimostrazione.
Supponiamo, senza ledere la generalità, che
\begin{equation}
x_{0}\space massimo\space relativo
\end{equation}

Per definizione di massimo relativo…
\begin{array}{c}
\exists \delta >0 : f(x_{0}) \geq f(x_{0}+h),\space con \space |h|
\Longleftrightarrow
f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \leq 0
\end{array}
Pertanto…
\begin{array}{c}
\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=f_{s}'(x_{0}) \geq 0 \\
\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=f_{d}'(x_{0}) \leq 0
\end{array}

Siccome la funzione è, per ipotesi, derivabile nel punto x_0, il valore della derivata deve essere lo stesso sia da destra che da sinistra, per cui
\begin{equation}
f'(x_{0})=0
\end{equation}
che dimostra la tesi.
Questo teorema dice, in pratica, che in un punto di massimo o minimo relativo la derivata prima deve essere uguale a zero; non è vero il viceversa, cioè, se in un punto si ha derivata prima nulla non è detto che esso sia di massimo o minimo relativo!

Immagine via en.wikibooks.org

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