I teoremi alla maturità – Teorema di Cauchy

Il teorema di Cauchy è un altro dei teoremi fondamentali del calcolo differenziale, anch’esso molto richiesto all’esame di maturità, sia nella prova scritta che come domanda di colloquio.
Cosa dice il teorema di Cauchy?

Siano date due funzioni f(x) e g(x) definite in un intervallo chiuso e limitato dell’insieme dei numeri reali e derivabili al suo interno, e sia g'(x) diversa da zero per ogni x dell’intervallo in questione. In queste ipotesi…
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c} f,\space g : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \\
f,\space g\space continue\space in\space [a,b] \\
f,\space g\space derivabili\space in\space (a,b) \\
g'(x) \ne 0,\space \forall x \in (a,b)
\end{array}
\Longrightarrow \exists c\in (a,b) : \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
\end{equation}

Il fatto che g'(x) sia sempre diversa da zero nell’intervallo (a,b) assicura che la funzione non assume gli stessi valori agli estremi dell’intervallo, per cui
\begin{equation}
g(b)-g(a) \ne 0 \space (\Longleftrightarrow g(a) \ne g(b) )
\end{equation}
Consideriamo la seguente funzione:
\begin{equation}
h(x) = f(x) – [f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))]
\end{equation}
Osserviamo innanzitutto che la funzione è praticamente la stessa usata nella dimostrazione del teorema di Lagrange; cambia il fatto che al posto di b – a e di x – a ci sono g(b) – g(a) e g(x) – g(a). La dimostrazione a questo punto procede in maniera analoga: bisogna provare che la funzione h(x) ha lo stesso valore agli estremi, in modo da ricadere nelle ipotesi del teorema di Rolle e poterlo applicare. Vediamo.
\begin{array}{c}
h(a) = f(a) – [f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(a)-g(a))] = … = 0 \\
h(b) = f(b) – [f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(b)-g(a))] = … = 0
\end{array}

Per la funzione h(x) vale dunque il teorema di Rolle, per cui
\begin{equation}
\exists c \in (a,b) : h'(c) = 0
\end{equation}
Quanto vale h'(x)?
\begin{array}{c}
h'(x) = f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x) \\ (ricordiamo\space che \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \space e’\space costante!)
\end{array}

Pertanto, valutando la derivata di h nel punto c si ha:
\begin{array}{c}
h'(c) = 0 = f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c) \\
\Longrightarrow f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c) \\
\overset{g'(c)\ne 0}{\Longrightarrow} \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
\end{array}

che è la tesi cercata. È facile osservare che i teoremi di Rolle e Lagrange possono essere visti come casi particolari di questo teorema.

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