I teoremi alla maturità – Teorema dei Carabinieri


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Cosa dice il teorema dei carabinieri?
Il teorema dei carabinieri, detto anche teorema del confronto, è un teorema di analisi matematica dal significato apparentemente scontato, tuttavia bisogna sempre ricordare che in matematica tutto va dimostrato, perché anche le cose ovvie non sono poi così ovvie talvolta! Pertanto anche all’esame di maturità potrebbe esservi chiesto il teorema dei carabinieri. Cosa dice?

Supponiamo di avere tre successioni che, per ogni n naturale verificano la seguente condizione:
\begin{equation}
a_{n}\leq b_{n} \leq c_{n} \space \forall n\in \mathbb{N}
\end{equation}
Nell’ipotesi aggiuntiva che le due successioni esterne (i carabinieri) convergano allo stesso limite l, si ha (tesi che anche la successione interna (quella prigioniera) converge allo stesso limite. Perché? Dimostrazione

Nell’ipotesi di convergenza delle due successioni esterne si ha che, fissato…
\begin{array}{c}
\forall \epsilon > 0 \\
\exists \nu_{1} \in \mathbb{N} : (n>\nu_{1} \rightarrow |a_{n} – l|
\exists \nu_{2} \in \mathbb{N} : (n>\nu_{2} \rightarrow |c_{n} – l|
\end{array}

Per…
\begin{array}{c}
\nu = \max (\nu_{1}, \nu_{2}),\space n>\nu \Longrightarrow l- \epsilon
\Longleftrightarrow \\
|b_{n}-l|
\end{array}

Siccome la relazione trovata vale per ogni epsilon positivo, si ha che anche la successione b converge al limite l e la tesi è dimostrata.

Immagine via flickr.com

Continua: I teoremi alla maturità – Permanenza del segno





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