I teoremi alla maturità – secondo teorema della media


integral

Cosa dice il secondo teorema della media?
Abbiamo già visto che il primo teorema della media fornisce una maggiorazione ed una minorazione del valore dell’integrale definito di una funzione, nel caso in cui questa sia limitata ed integrabile. Nell’ipotesi aggiuntiva di continuità della funzione si ha:
\begin{array}{c}
Ipotesi:\space f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}, f\space continua\space in\space [a,b] \\
Tesi:\space \exists x_{0} \in [a,b] : \int_{a}^{b} f(x)dx = f(x_{0})(b-a)
\end{array}

Anche in questo caso la dimostrazione è molto semplice. Per il teorema di Weierstrass la funzione ammette minimo (m) e massimo (M) nell’intervallo, e per il primo teorema della media si ha:
\begin{equation}
m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x)dx \leq M(b-a)
\end{equation}
da cui si ricava immediatamente che:
\begin{equation}
m \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)dx \leq M
\end{equation}

Per il secondo teorema dei valori intermedi la funzione f assume ogni valore compreso tra il massimo ed il minimo, per cui…
\begin{equation}
\exists x_{0} \in [a,b] : f(x_{0}) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)dx
\end{equation}
da cui si ottiene facilmente la tesi cercata, cioè che…
\begin{equation}
\exists x_{0} \in [a,b] : f(x_{0})(b-a) = \int_{a}^{b} f(x)dx
\end{equation}

Continua: I teoremi alla maturità – teorema fondamentale del calcolo integrale





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