I teoremi alla maturità – primo teorema della media

integral

Il primo teorema della media è un importante teorema del calcolo integrale. Il suo enunciato è molto semplice quanto molto intuitivo, per cui è anche piuttosto semplice da ricordare.
Cosa dice il teorema della media? Sia data una funzione limitata ed integrabile (non è richiesta la continuità!) definita in un intervallo [a,b] e a valori in R. Siano m il suo estremo inferiore (nell’intervallo) e M il suo estremo superiore. In queste ipotesi (che riassumiamo in formule) si ha:

\begin{array}{c}
Ipotesi:\\
f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \space limitata\space ed\space integrabile \\
m= \inf_{x\in[a,b]}f(x),\space M=\sup_{x\in[a,b]}f(x) \\
Tesi: \space m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x)dx \leq M(b-a)
\end{array}

La dimostrazione è molto semplice e si rifà alla definizione di integrale definito, data in termini di somme inferiori e superiori. Pertanto, data una partizione dell’intervallo [a,b] (che chiamiamo P), si ha:
\begin{array}{c}
P= \{ a=x_{0}, x_{1},…,x_{n}=b \} \\
m_{k}=\inf_{x\in [x_{k},x_{k-1}]} f(x),\space M_{k}=\sup_{x\in [x_{k},x_{k-1}]} f(x) \\
s(P)= \sum_{k=1}^{n} m_{k}(x_{k}-x_{k-1}), \space S(P)= \sum_{k=1}^{n} M_{k}(x_{k}-x_{k-1})
\end{array}
Da questo si deduce facilmente che…
\begin{equation}
m(b-a) \leq s(P) \leq \int_{a}^{b} f(x)dx \leq S(P) \leq M(b-a)
\end{equation}

La prima diseguaglianza si ha facendo una semplice osservazione: l’estremo inferiore della funzione (fatto su tutti l’intervallo [a,b]) è sicuramente minore o uguale di qualche estremo inferiore nei singoli intervalli ottenuti dalla partizione P, per cui nel computo finale si ha un segno di disuguaglianza. Ovviamente lo stesso vale per gli estremi superiori nell’ultima disuguaglianza, osservando però che l’estremo superiore in tutto l’intervallo [a,b] è sicuramente maggiore o uguale degli estremi superiori nei singoli intervalli.

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