I teoremi alla maturità – I teoremi di De L'Hospital


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Cos’è la regola di De L’Hospital?
I teoremi di De L’Hospital sono utili nella risoluzione dei limiti, nei casi in cui si presenti la forma indeterminata zero su zero oppure la forma infinito su infinito. Quali sono le ipotesi? Innanzitutto è chiaro che, per avere una forma del tipo 0/0 è necessario avere il rapporto di due funzioni (vale lo stesso per l’altra forma). Pertanto…
\begin{equation}
\{
\begin{array}{c}
f,\space g : [a,b] \space (\setminus \{x_{0}\}) \rightarrow \mathbb{R} \\
f,\space g\space derivabili\space in\space (a,b) \space (\setminus \{x_{0}\}) \\
g'(x) \ne 0,\space \forall x \in (a,b) \\
(1) \space \lim_{x\leftarrow x_{0}} f(x) = 0 = \lim_{x\leftarrow x_{0}} g(x) \\
\lim_{x\leftarrow x_{0}} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l
\end{array}
\Longrightarrow \lim_{x\leftarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = l
\end{equation}

La scrittura
\begin{equation}
( \setminus \{x_{0}\} )
\end{equation}
sta ad indicare che le ipotesi fatte devono valere in tutto l’intervallo [a,b] con l’eccezione di al più un punto. Inoltre, l’ipotesi (1) può essere sostituita dalla seconda forma indeterminata, cioè:
\begin{equation}
\space \lim_{x\leftarrow x_{0}} f(x) = \pm \infty = \lim_{x\leftarrow x_{0}} g(x)
\end{equation}

Traducendo dalle formule, i teoremi di De L’Hospital affermano che, nel caso in cui si abbia una delle forme indeterminate di cui sopra, se facendo il limite delle derivate si dovesse pervenire ad un certo risultato, questo (risultato) vale anche per il limite principale. IMPORTANTE!!! Bisogna ricordare che non va fatta la derivata del rapporto bensì le derivate di numeratore e denominatore come due funzioni indipendenti!

Facciamo un semplice esempio:
\begin{array}{c}
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1- \cos x}{x} \space (forma\space \frac{0}{0}) \\
Applicando \space De\space L’Hospital… \\
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{1} = 0
\end{array}

In base ai teoremi sopra enunciati 0 è il risultato del limite.
Va ricordato che, nel caso in cui, dopo l’applicazione della regola, si presenti un’altra forma indeterminata appartenente ad uno dei due casi sopra esposti, si può applicare di nuovo la regola di De L’Hospital. Provare ad esempio con il caso:
\begin{equation}
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1- \cos x}{x^{2}}
\end{equation}

Immagine via flickr.com

Continua: I teoremi alla maturità – Teorema di Fermat





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