I teoremi alla maturità – Formula fondamentale del calcolo integrale


integral

La formula fondamentale del calcolo integrale è una immediata conseguenza del teorema fondamentale del calcolo integrale e ci permette di calcolare con estrema facilità l’area compresa tra una curva e l’asse dell’incognita d’integrazione, ovvero il valore dell’integrale definito.

Supponiamo dunque di avere una funzione continua f(x) ed una sua primitiva G(x); in queste ipotesi…
\begin{equation}
\{ \begin{array}{c}
f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \space continua \\
G(x) \space primitiva\space di\space f
\end{array}
\overset{Tesi}{\Longrightarrow} \int_{a}^{b} f(t)dt = G(b) – G(a)
\end{equation}

La dimostrazione prende le mosse ricordando che la funzione integrale F(x) definita nel teorema fondamentale del calcolo integrale (vedi link sopra) è anch’essa una primitiva, per cui…
\begin{array}{c}
F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt \space primitiva \space di\space f \\
\Longrightarrow \space G(x) – F(x) \overset{(1)}{=} G(x) – \int_{a}^{x} f(t)dt = c, \forall x \in [a,b]
\end{array}
Ponendo x = a e successivamente x = b nella relazione (1) si trova:
\begin{array}{c}
G(a) – \int_{a}^{a} f(t)dt = c = G(a) \space (perche’ \space \int_{a}^{a} f(t)dt = 0 ) \\
G(b)-\int_{a}^{b} f(t)dt = c = G(a)
\end{array}

Da questo si deduce immediatamente che
\begin{equation}
G(b)- G(a) = \int_{a}^{b} f(t)dt
\end{equation}

…come volevasi dimostrare
Una domanda molto gettonata agli esami di stato!!!

Continua: I teoremi alla maturità – teorema fondamentale del calcolo integrale





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