I sistemi lineari – metodo di sostituzione

Cos’è il metodo di sostituzione?

Il metodo di sostituzione è uno dei metodi maggiormente usati per la risoluzione di sistemi. Come dice il nome stesso, il tutto sta nel calcolare il valore di un’incognita (eventualmente in funzione delle altre) e quindi di sostituirlo nelle rimanenti equazioni; questa operazione va fatta finché non si trova il valore numerico di almeno un’incognita… a meno che il sistema non ammetta infinite soluzioni o sia incompatibile, cioè senza soluzioni. Facciamo un esempio.
\begin{equation}
\{\begin{array}{c} 2x+y=3 \\ x-y=0
\end{array}
\end{equation}

È possibile ricavare facilmente dalla seconda equazione il risultato x = y, che sostituito nella seconda fornisce l’equazione 2y + y = 3 da cui y = 1. Sostituendo a questo punto il valore y = 1 nella seconda equazione si ottiene immediatamente x = 1, per cui si avrà, riassumendo
\begin{equation}
\{\begin{array}{c} 2y+y=3 \\ x = y
\end{array}
\Longrightarrow
\{\begin{array}{c} y = 1 \\ x = 1
\end{array}
\end{equation}

Pertanto il risultato è costituito dalla coppia (1, 1)

Vediamo un altro esempio.
\begin{equation}
\{\begin{array}{c} x+y=3 \\ 2x+2y=6
\end{array}
\Longrightarrow
\{\begin{array}{c} x = 3-y \\ 6 – 2y + 2y = 6
\end{array}
\Longrightarrow
\{\begin{array}{c} x = 3-y \\ 0 = 0
\end{array}
\end{equation}

In questo caso non è possibile operare alcuna sostituzione. Pertanto le soluzioni del sistema saranno tutte le coppie del tipo (3 – y, y) o, equivalentemente, del tipo (x, 3 – x). Insomma, la retta x + y – 3 = 0 costituisce l’insieme delle soluzioni del sistema. Geometricamente parlando, stiamo mettendo a sistema una retta con se stessa, che dunque coincide con l’insieme delle soluzioni. Algebricamente parlando, questo accade ogni qual volta una delle equazioni è combinazione lineare delle altre, cioè ogni qual volta una o più equazioni (nel caso di sistemi con tre o più equazioni) si possono ottenere mediante la somma di altre equazioni o mediante il prodotto con coefficienti numerici (non nulli). Insomma, se capita:

\begin{equation}
\{\begin{array}{c}
eq_{1} = b_{1} \\ … \\ eq_{k} = b_{k} \\ … \\ eq_{i} = \lambda_{1} eq_{1} + … + \lambda_{i-1}eq_{i-1} \\ … \\ eq_{n} = \lambda_{1} eq_{1} + … + \lambda_{n-1}eq_{n-1}
\end{array}
\end{equation}

il sistema ammette infinite soluzioni. Il grado dell’infinito dipende dal numero di equazioni dipendenti dalle altre, dal numero totale delle equazioni e dal numero delle variabili. (Nell’esempio precedente, con due equazioni in due incognite, il grado dell’infinito era pari ad uno in quanto era una soltanto la variabile indipendente; infatti il grado dell’infinito coincide con il numero di variabili indipendenti trovate).

Diamo infine l’esempio di un sistema impossibile:

\begin{equation}
\{\begin{array}{c} x+y=3 \\ 2x+2y=5
\end{array}
\Longrightarrow
\{\begin{array}{c} x = 3-y \\ 6 – 2y + 2y = 5
\end{array}
\Longrightarrow
\{\begin{array}{c} x = 3-y \\ 0 = -1
\end{array}
\end{equation}

Siccome l’identità 0 = -1 è impossibile il sistema è incompatibile, cioè non ammette soluzioni.

Immagine via commons.wikimedia.org