I sistemi lineari – metodo di riduzione

Cos’è il metodo di riduzione?

Il metodo di riduzione è uno dei metodi per la risoluzione di sistemi lineari (come, ad esempio, Cramer o sostituzione). È molto utile quando una o più variabili sono presenti in più equazioni con lo stesso coefficiente. In questo caso le due equazioni vanno sommate (o sottratte, a seconda del segno) al fine di far scomparire la variabile in questione, e, ad una soltanto delle due, va aggiunta l’equazione ottenuta. Facciamo un esempio.
\begin{equation}
\{\begin{array}{c} x+2y = 3 \\ x – y = 2
\end{array}
\end{equation}

In questo caso la variabile x compare con lo stesso coefficiente (cioè 1) in entrambe le equazioni. Pertanto, sottraendo le due equazioni, se ne ottiene una con una sola variabile. Infatti, dalla sottrazione (è indifferente sottrarre la seconda dalla prima o la prima dalla seconda) si ottiene l’equazione 3y = 1. L’equazione così ottenuta va messa nel sistema al posto di una delle altre due (non è importante quale delle due, solitamente si sceglie quella che rende i calcoli più semplici). Pertanto…
\begin{equation}
\{\begin{array}{c} 3y = 1 \\ x – y = 2
\end{array}
\Longrightarrow \{\begin{array}{c} y = \frac{1}{3} \\ x – \frac{1}{3} = 2
\end{array}
\Longrightarrow \{\begin{array}{c} y = \frac{1}{3} \\ x = \frac{7}{3}
\end{array}
\end{equation}

La soluzione è rappresentata dunque dalla coppia (1/3, 7/3). Nel caso in cui il sistema ammette infinite soluzioni (o nessuna soluzione) si verificano i casi già visti per i metodi di sostituzione o Cramer.

Immagine via commons.wikimedia.org