I sistemi lineari – la regola di Cramer


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Come si risolve un sistema lineare? Cos’è il metodo di Cramer?

Esistono diversi metodi per risolvere un sistema lineare. Vediamo in questa sede il metodo di Cramer. Questo metodo è consigliabile per sistemi con un piccolo numero di equazioni (due o tre) in quanto altrimenti diventa piuttosto laborioso. Vediamo comunque in generale in cosa consiste. Sia dato il sistema…
\begin{equation}
S=\{ \begin{array}{c}a_{1,1} x_{1} + … + a_{1,n}x_{n} = b_{1} \\ …\\ a_{n,1} x_{1} + … + a_{n,n}x_{n} = b_{n}
\end{array}
\end{equation}

Sia A la matrice dei coefficienti:
\begin{equation}
A= \begin{array}{c}a_{1,1} … a_{1,n}\\…\\ a_{n,1} … a_{n,n}
\end{array}
\end{equation}

B il vettore colonna dei termini noti
\begin{equation}
B=\begin{array}{c}
b_{1} \\ .\\.\\.\\ b_{n}
\end{array}
\end{equation}

e sia A_i la matrice in cui al posto della colonna i-esima è presenta la colonna dei coefficienti, cioè
\begin{equation}
A_{i}= \begin{array}{c}a_{1,1} … b_{1,i} … a_{1,n}\\…\\ a_{n,1} … b_{n,i}…a_{n,n}
\end{array}
\end{equation}

A questo punto, SE il determinante della matrice A è diverso da zero, la n-pla delle soluzioni sarà unica (si dice in generale che la soluzione è unica) e le singole soluzioni saranno:
\begin{array}{c}
\vert A\vert \ne 0 \Longrightarrow x_{i} = \frac {\vert A_{i}\vert}{\vert A\vert},\space \forall i\in \{1,…,n\}
\end{array}

Viceversa, SE il determinante della matrice A è uguale a zero è possibile che vi siano infinite soluzioni quanto nessuna soluzione. Vi sono infinite soluzioni se ognuno dei determinanti A_i è nullo, altrimenti (il che significa, se almeno uno è non nullo) non vi sono soluzioni. Riassumendo:
\begin{equation}
\vert A\vert = 0 \Longrightarrow \{
\begin{array}{c}
\vert A_{i}\vert = 0,\space \forall i \in \{1,…,n\} \Longrightarrow \space infinite\space soluz. \\
\exists i\in \{1,…,n\} \space : \space \vert A_{i} \vert \ne 0 \Longrightarrow \space nessuna\space soluz.
\end{array}
\end{equation}

Il metodo è sconsigliato per sistemi lineari grandi in quanto il calcolo dei determinanti è piuttosto laborioso già quando il numero delle equazioni è pari a tre.

Chiudiamo approfondendo quanto precedentemente detto. Si dice che la soluzione è unica in quanto la n-pla che ne viene fuori rappresenta un unico punto. In uno spazio n-dimensionale una equazione rappresenta un iperspazio, ossia un sottospazio (affine) di dimensione (n-1). Pertanto, l’intersezione di n spazi di dimensione n-1 dà come risultato un unico punto (soluzione unica), una retta o un sottospazio (infinite soluzioni) o nessun punto (nessuna soluzione). Per riuscire più facilmente ad immaginare la situazione basta pensare alla posizione reciproca tra due rette (spazio di dimensione uno) nel piano (che è uno spazio bidimensionale): esse possono intersecarsi in un punto (una soluzione), essere parallele (zero soluzioni) o coincidere (infinite soluzioni).

Immagine via commons.wikimedia.org

Continua: I sistemi lineari – metodo di sostituzione





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