I sistemi lineari – la regola di Cramer

Come si risolve un sistema lineare? Cos’è il metodo di Cramer?

Esistono diversi metodi per risolvere un sistema lineare. Vediamo in questa sede il metodo di Cramer. Questo metodo è consigliabile per sistemi con un piccolo numero di equazioni (due o tre) in quanto altrimenti diventa piuttosto laborioso. Vediamo comunque in generale in cosa consiste. Sia dato il sistema…
\begin{equation}
S=\{ \begin{array}{c}a_{1,1} x_{1} + … + a_{1,n}x_{n} = b_{1} \\ …\\ a_{n,1} x_{1} + … + a_{n,n}x_{n} = b_{n}
\end{array}
\end{equation}

Sia A la matrice dei coefficienti:
\begin{equation}
A= \begin{array}{c}a_{1,1} … a_{1,n}\\…\\ a_{n,1} … a_{n,n}
\end{array}
\end{equation}

B il vettore colonna dei termini noti
\begin{equation}
B=\begin{array}{c}
b_{1} \\ .\\.\\.\\ b_{n}
\end{array}
\end{equation}

e sia A_i la matrice in cui al posto della colonna i-esima è presenta la colonna dei coefficienti, cioè
\begin{equation}
A_{i}= \begin{array}{c}a_{1,1} … b_{1,i} … a_{1,n}\\…\\ a_{n,1} … b_{n,i}…a_{n,n}
\end{array}
\end{equation}

A questo punto, SE il determinante della matrice A è diverso da zero, la n-pla delle soluzioni sarà unica (si dice in generale che la soluzione è unica) e le singole soluzioni saranno:
\begin{array}{c}
\vert A\vert \ne 0 \Longrightarrow x_{i} = \frac {\vert A_{i}\vert}{\vert A\vert},\space \forall i\in \{1,…,n\}
\end{array}

Viceversa, SE il determinante della matrice A è uguale a zero è possibile che vi siano infinite soluzioni quanto nessuna soluzione. Vi sono infinite soluzioni se ognuno dei determinanti A_i è nullo, altrimenti (il che significa, se almeno uno è non nullo) non vi sono soluzioni. Riassumendo:
\begin{equation}
\vert A\vert = 0 \Longrightarrow \{
\begin{array}{c}
\vert A_{i}\vert = 0,\space \forall i \in \{1,…,n\} \Longrightarrow \space infinite\space soluz. \\
\exists i\in \{1,…,n\} \space : \space \vert A_{i} \vert \ne 0 \Longrightarrow \space nessuna\space soluz.
\end{array}
\end{equation}

Il metodo è sconsigliato per sistemi lineari grandi in quanto il calcolo dei determinanti è piuttosto laborioso già quando il numero delle equazioni è pari a tre.

Chiudiamo approfondendo quanto precedentemente detto. Si dice che la soluzione è unica in quanto la n-pla che ne viene fuori rappresenta un unico punto. In uno spazio n-dimensionale una equazione rappresenta un iperspazio, ossia un sottospazio (affine) di dimensione (n-1). Pertanto, l’intersezione di n spazi di dimensione n-1 dà come risultato un unico punto (soluzione unica), una retta o un sottospazio (infinite soluzioni) o nessun punto (nessuna soluzione). Per riuscire più facilmente ad immaginare la situazione basta pensare alla posizione reciproca tra due rette (spazio di dimensione uno) nel piano (che è uno spazio bidimensionale): esse possono intersecarsi in un punto (una soluzione), essere parallele (zero soluzioni) o coincidere (infinite soluzioni).

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