I sistemi lineari – Il metodo di Gauss

Cos’è il metodo di Gauss per i sistemi lineari?

Il metodo di eliminazione di Gauss è poco usato nelle scuole ma in effetti è molto più veloce di altri, specie quando si ha a che fare con un grande numero di equazioni. Il metodo consiste nel ridurre a scalini la matrice completa che descrive il sistema, procedendo poi con una sostituzione all’indietro per determinare il valore di tutte le incognite. Quel che si fa in effetti, anche se in maniera celata, è applicare ripetutamente il metodo di riduzione fino a che il sistema che ne viene fuori permette di calcolare in maniera immediata il valore delle incognite. Facciamo un esempio.

\begin{equation}
\{ \begin{array}{c} x+2y-z=3 \\ 3x- y -2=0 \\ 14y-2z=-3
\end{array}
\end{equation}

Innanzitutto bisogna mettere tutti i termini noti dalla stessa parte dell’uguale (tutti a destra o tutti a sinistra per essere chiari); quindi bisogna ricordarsi che quando manca una incognita il suo coefficiente è zero. A questo punto si può scrivere la matrice:
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -1 & 3 \\
3 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 14 & -2 & -3
\end{array}

Ora bisogna applicare l’algoritmo di Gauss per ridurre la matrice a scalini. Dunque…
\begin{equation}
\overset{R_{2} = R_{2} – 3 R_{1}}{\longrightarrow}
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & -7 & 3 & -7 \\
0 & 14 & -2 & -3
\end{array}
\end{equation}
\begin{equation}
\overset{R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}}{\longrightarrow}
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & -7 & 3 & -7 \\
0 & 0 & 4 & -17
\end{array}
\end{equation}

La matrice così ottenuta rappresenta il seguente sistema:
\begin{equation}
\{\begin{array}{c} x+2y-z=3 \\ -7y +3z = -7 \\ 4z = -17
\end{array}
\end{equation}

Operando dunque una sostituzione all’indietro, cioè calcolando il valore dall’ultima incognita (ossia la z) fino alla prima (la x) si trova immediatamente la soluzione. Infatti…:
\begin{equation}
\{\begin{array}{c} z = -\frac{17}{4} \\ y = -\frac{23}{28} \\ x = \frac{229}{28}
\end{array}
\end{equation}

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