Hendrix e la fisica – Elettronica ed equazione d'onda 2


Avevamo lasciato tempo fa una domanda in sospeso: cosa succede quando pizzichiamo una corda con il nostro plettro?

Hendrix e la fisica - Elettronica ed equazione d'onda 2

La figura mostra un elemento di corda sottoposto ad una tensione T. Le inclinazioni della corda nei punti A e B sono date rispettivamente da:
\begin{array}{c}
\tan \theta_{A} \\ \tan \theta_{B}
\end{array}

Consideriamo dunque un’onda che si propaga lungo una corda che è sotto una tensione T. Consideriamo un piccolo segmento di corda Delta X. Le parti terminali del segmento formano dei piccoli angoli con l’asse x. Prima di mettere la corda in oscillazione l’elemento in esame è fermo e dunque la tensione T è costante, essendo l’unica forza in gioco (in questo caso soltanto lungo la direzione della corda); una volta messa in vibrazione la corda le due tensioni ai capi dell’elemento di corda in esame diventano
\begin{array}{c}
T\sin \theta_{A} \\
T\sin \theta_{B}
\end{array}
lungo l’asse in cui avviene la vibrazione (l’elemento di corda non subisce spostamenti lungo la direzione della corda per cui ci interessiamo solamente a ciò che avviene lungo la direzione della vibrazione). La forza netta che agisce sul segmento in direzione verticale (ovvero nella direzione perpendicolare a quella della corda) è

\begin{equation}
\sum F_{y}=T\sin \theta_{B} – T\sin\theta_{A}=T(\sin\theta_{B} – \sin\theta_{A})
\end{equation}

Poiché gli angoli sono piccoli possiamo considerare l’approssimazione
\begin{array}{c}
\sin\theta \approx \tan\theta \\
\Longrightarrow
\sum F_{y} \approx T(\tan \theta_{B} – \tan \theta_{A})
\end{array}

Le tangenti agli angoli in A e B sono definite come le inclinazioni del segmento di corda in quei punti; poiché la pendenza di una curva è data da
\begin{equation}
pendenza \space = \frac{\partial y}{\partial x}
\end{equation}

dove in questo caso x è la direzione della corda e y è la direzione ad essa ortogonale nel piano determinato dalla vibrazione della corda, si ha che

\begin{equation}
\sum F_{y} \approx T[(\frac{\partial y}{\partial x})_{B}-(\frac{\partial y}{\partial x})_{A}]
\end{equation}

Applicando la seconda legge di Newton al segmento in questione, con massa assegnata
\begin{equation}
m=\mu \Delta x
\end{equation}
si ha

\begin{array}{c}
\sum F_{y} = ma_{y} = \mu \Delta x (\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}) \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\Longrightarrow \\
\mu \Delta x (\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}) = T[(\frac{\partial y}{\partial x})_{B}-(\frac{\partial y}{\partial x})_{A}] \\
\Longrightarrow \\
\frac{\mu}{T}(\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}) = \frac{[(\frac{\partial y}{\partial x})_{B}-(\frac{\partial y}{\partial x})_{A}]}{\Delta x}= \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}
\end{array}

L’equazione finale risulta quindi

\begin{equation}
\frac{\mu}{T}(\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}) = \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}
\end{equation}

Una soluzione di questo tipo di equazione è data da un’onda sinusoidale tipo
\begin{equation}
y(x,t) = A\sin (kx – \omega t)
\end{equation}
Sostituendo si ottiene come identità finale

\begin{equation}
k^{2}=\frac{\mu \omega^{2}}{T}
\end{equation}
Si ha, quindi:
\begin{array}{c}
v=\frac{\omega}{k} \Longrightarrow v^{2} = \frac{\omega^{2}}{k^{2}} = \frac{T}{\mu} \\
\Longrightarrow v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\end{array}
pur restando l’altra identità, in relazione alla frequenza,
\begin{equation}
v= \lambda f
\end{equation}

con lambda la lunghezza d’onda ed f la frequenza.

Tutte gli altri post relativi a questo argomento si trovano alla sezione relativa a Jimi Hendrix

Continua: Funzioni marginali





Lascia una risposta