Geometria cartesiana

cartesioLa geometria cartesiana (o analitica) ingloba le figure ed i teoremi della geometria euclidea, introducendone di nuovi grazie a due altre importanti discipline della matematica: l’algebra e l’analisi. Lo spazio (ed il piano) sono rappresentati con delle coordinate cartesiane. In questo modo ogni figura geometrica e’ descrivibile tramite una o piu’ equazioni (o disequazioni).

Rette e piani sono oggetti risultanti da equazioni di primo grado, mentre le coniche sono definite tramite equazioni di secondo grado. Equazioni polinomiali di grado superiore definiscono nuovi oggetti curvi.

Il calcolo infinitesimale permette di estendere con precisione i concetti di lunghezza e area a queste nuove figure. L’integrale e’ un utile strumento analitico per determinare queste quantita’. Si parla in generale quindi di curve e superfici nel piano e nello spazio.

Spazi vettoriali
Retta (passante per l’origine), piano (contenente l’origine) e spazio sono esempi di spazi vettoriali di dimensione rispettivamente 1, 2 e 3: infatti ogni punto e’ esprimile rispettivamente con 1, 2 o 3 coordinate. La geometria cartesiana e’ facilmente estendibile alle dimensioni superiori: in questo modo si definiscono spazi di dimensione 4 e oltre, come insiemi di punti aventi 4 o piu’ coordinate.

Grazie all’algebra lineare, lo studio delle rette e dei piani nello spazio puo’ essere esteso allo studio dei sottospazi di uno spazio vettoriale, di dimensione arbitraria. Lo studio di questi oggetti e’ strettamente collegato a quello dei sistemi lineari e delle loro soluzioni.

In dimensione piu’ alta, alcuni risultati possono contrastare con l’intuizione geometrica tridimensionale a cui siamo abituati. Ad esempio, in uno spazio di dimensione 4, due piani possono intersecarsi in un punto solo.

Geometria affine
In uno spazio vettoriale l’origine (cioe’ il punto da cui partono gli assi, di coordinate tutte nulle) gioca un ruolo fondamentale: per poter usare in modo efficace l’algebra lineare, si considerano infatti solo sottospazi passanti per l’origine. In questo modo si ottengono delle relazioni eleganti fra i sottospazi, come la formula di Grassmann.

Nella geometria affine il ruolo predominante dell’origine e’ abbandonato. I sottospazi non sono vincolati, e possono quindi essere paralleli: questo crea una quantita’ considerevole di casistiche in piu’. In particolare, la formula di Grassmann non e’ piu’ valida. Lo spazio affine e’ considerato (fino alla scoperta della relativita’ ristretta) come lo strumento migliore per creare modelli dell’universo, con 3 dimensioni spaziali ed eventualmente 1 dimensione temporale, senza origini o punti privilegiati.

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