Funzioni – l'insieme delle immagini


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Cos’è l’insieme delle immagini o insieme immagine?
Data una funzione f definita in un insieme dominio X ed a valori in un insieme Y, è possibile associare ad ogni elemento del dominio la sua immagine, cioè l’elemento f(x) che si trova in Y. In questo modo viene definito un insieme, cioè un sottoinsieme di Y, che è formato da tutte e sole le immagini degli elementi di X. In pratica si definisce l’insieme f(X), o anche definito Im(f) fatto da:
\begin{array}{c}
f\space : \space X \rightarrow Y\space funzione \\
Im(f)= \{y\in Y \mid \exists x\in X : y = f(x) \}
\end{array}

Visto così si mette in risalto il fatto che Im(f) è un sottoinsieme di Y. Tuttavia, per determinare in maniera molto più rapida l’insieme delle immagini, è molto più semplice seguire la seguente scrittura:
\begin{equation}
Im(f)= \{f(x) \mid x\in X\}
\end{equation}
In generale dunque, essendo quello delle immagini un sottoinsieme del codominio, si ha:
\begin{equation}
Im(f) \subseteq Y
\end{equation}

Facciamo un esempio.
\begin{array}{c}
f\space : x\in \{1,2,3\} \rightarrow x+3 \in \mathbb{N} \\
f(1) = 4 \\ f(2) = 5 \\ f(3) =6 \\ Im(f) = \{4,5,6\} \subset \mathbb{N}
\end{array}

Continua: Insieme delle parti