Funzioni – la controimmagine


grafico3

Cos’è la controimmagine di un elemento?
Data una funzione, sappiamo che, a partire dal dominio, è possibile conoscere in maniera molto semplice l’insieme immagine, ovvero l’insieme delle immagini di tutti gli elementi del dominio attraverso la funzione data.
Fatto ciò, è immediato pensare se è possibile fare lo stesso passaggio a ritroso, ossia, dato un elemento del codominio, trovare l’elemento (o gli elementi) del dominio di cui esso è immagine. Nel fare questa operazione stiamo difatti calcolando quella che si chiama solitamente controimmagine. Pertanto, la controimmagine di un elemento è l’insieme di tutti gli elementi del dominio di cui esso è immagine. In formule, assegnata una funzione f definita in un insieme X ed a valori in un insieme Y si ha:
\begin{equation}
\forall y \in Y\space f^{-1}(y)=\{x\in X \mid f(x) = y \}
\end{equation}

Per quanto detto, dunque, la controimmagine di un elemento, in generale, è un sottoinsieme del dominio e non un singolo elemento. Facciamo alcuni esempi.
\begin{array}{c}
f: n\in \mathbb{Z} \rightarrow n^{2} \in \mathbb{N} \\
f(2) = f(-2)=4 \Longrightarrow f^{-1}(4) = \{-2,2\} \\
Invece… \space f^{-1}(3) = \emptyset
\end{array}

Quanto appena visto, oltre a dimostrare quanto detto appena sopra, dimostra anche che non è detto che ogni elemento del codominio abbia una sua controimmagine: questo è vero solo nel caso in cui la funzione è suriettiva. Per quanto riguarda l’unicità della controimmagine, si ha che un elementi di f(X) ha una sola controimmagine soltanto nel caso in cui la funzione f risulti iniettiva.

Continua: Funzioni marginali