Funzioni iperboliche e loro inverse

Le funzioni iperboliche costituiscono una famiglia di funzioni definite a partire da un’iperbole equilatera e aventi proprietà analoghe alle funzioni trigonometriche. Bisogna però ricordare che, al contrario delle funzioni trigonometriche, la variabile non rappresenta un angolo ma il doppio dell’area delimitata tra i punti F, A, E (vedi figura sotto) considerando tra A ed E l’arco di iperbole e non un segmento. Fissata dunque l’iperbole unitaria si ha…
\begin{array}{c}
x^{2} – y^{2} = 1 \\
x = \cosh x, \space y = \sinh x \Longrightarrow \\ \cosh^{2}x – \sinh^{2}x = 1 \space (relazione \space fondamentale)
\end{array}
Dalle posizioni appena effettuate è chiaro che è possibile definire tutte le altre funzioni iperboliche, ossia tangente, cotangente, secante e cosecante. È ovvio inoltre che le funzioni iperboliche ammettono inverse, ma andiamo con ordine. In termini della funzione esponenziale si ottengono le seguenti formule per le funzioni iperboliche:
\begin{array}{c}
\sinh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \space \cosh x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \\
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \\
\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}= \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} \\
\end{array}

Come abbiamo già visto, la relazione fondamentale è differente da quella usata per le funzioni trigonometriche, in quanto c’è una differenza al posto di una somma. Valgono tuttavia molte delle formule usate nella trigonometria, alcune con qualche leggera modifica. Infatti:
\begin{array}{c}
\sinh(x+y)=\sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \\
\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \\
\cosh(\frac{x}{2})= \sqrt{\frac{1+\cosh x}{2}} \\
\sinh(\frac{x}{2})= \sqrt{\frac{\cosh x -1}{2}} \\
\end{array}
Per quanto riguarda le regole di derivazione si ha:
\begin{array}{c}
D(\sinh{x}) = \cosh x \\
D(\cosh{x}) = \sinh x
\end{array}

Passiamo alle funzioni inverse. Per calcolare l’inversa di una funzione iperbolica poniamo y = sinh x e calcoliamo la x in funzione di y. Ovviamente valgono gli stessi passaggi anche per il coseno e le altre funzioni.
\begin{array}{c}
y= \sinh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \Longrightarrow 2y=e^{x}-\frac{1}{e^{x}} \\
2ye^{x} = e^{2x} -1 \Longrightarrow e^{2x} – 2ye^{x} -1 = 0 \\
e^{x} = y \pm \sqrt{y^{2}+1} \Longrightarrow \\
e^{x} = y + \sqrt{y^{2}+1} \Longrightarrow x= \ln (y+\sqrt{y^{2}+1})= sett\sinh y
\end{array}

…e si legge settore seno iperbolico. Per quanto riguarda le altre funzioni inverse si ha, in breve:
\begin{array}{c}
sett \cosh x = \ln (x+\sqrt{x^{2}-1}) \\
sett \tanh x = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+x}{1-x}) \\
sett \coth x = \frac{1}{2} \ln(\frac{x+1}{x-1})
\end{array}
Per quanto riguarda alcuni integrali si ha infine:
\begin{array}{c}
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+1}} = sett \sinh x +c \\
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-1}} = sett \cosh x +c
\end{array}