Funzioni iniettive


grafico3

Cos’è una funzione iniettiva?
Abbiamo visto precedentemente cosa si intende per funzione, senza dare però alcuna informazione sulla natura del codominio né tanto meno altre informazioni riguardanti l’entità delle immagini, se possono essere tutte uguali o meno e così via. Quello che abbiamo detto è che ad ogni elemento del dominio va associato uno ed un solo elemento dl codominio, il che ci permette di dire che le immagini possono anche coincidere tutte, l’importante è che siano uniche. Insomma…
\begin{equation}
f:n \in \mathbb{N} \rightarrow 3 \in \mathbb{N}
\end{equation}
è quella che si dice funzione costante, ed è a tutti gli effetti una funzione.

Può capitare per alcune funzioni che le immagini siano tutte differenti, ossia che ad elementi distinti del dominio siano associate immagini distinte del codominio. Detto matematicamente, data una funzione definita in X ed a valori in Y, se accade che
\begin{equation}
\forall x,y \in X,\space x \ne y \Longrightarrow f(x) \ne f(y)
\end{equation}
cioè, se per ogni coppia di elementi distinti si trovano immagini distinte, la funzione si definisce iniettiva. Ossia…
\begin{array}{c}
f:X \rightarrow Y \space funzione\space iniettiva \\
\Longleftrightarrow \\
\forall x,y \in X,\space x \ne y \Longrightarrow f(x) \ne f(y)
\end{array}

Un esempio di funzione iniettiva è:
\begin{equation}
f: x \in \mathbb{Z} \setminus \{0 \} \rightarrow \frac{1}{x} \in \mathbb{Q}
\end{equation}
Viceversa…
\begin{equation}
f: x \in \mathbb{Z} \setminus \{0 \} \rightarrow \vert \frac{1}{x} \vert \in \mathbb{Q}
\end{equation}
non è iniettiva in quanto ogni numero x ha la stessa immagine del suo opposto -x, il che nega la definizione di iniettività.

Continua: Cos'è una funzione?





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