Funzioni continue

continue

Cos’è una funzione continua?

Intuitivamente, una funzione è continua quando si può disegnare il suo grafico senza staccare la penna dal foglio, o il gesso dalla lavagna… insomma, quando il suo grafico non presenta buchi o comunque interruzioni di sorta. Ovviamente questa è una definizione tutt’altro che precisa! Vediamo dunque come si esprime correttamente il concetto di continuità. Sia data una funzione…
\begin{array}{c}
f\space :\space I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
f\space continua\space in\space c\in I \Longleftrightarrow \underset{x\rightarrow c}{lim} f(x) = f(c)
\end{array}

Tirando le somme, affinché la funzione f sia continua nel punto c di I deve accadere:
1. che esiste il valore della funzione nel punto c;
2. che esiste finito il limite per x -> c di f(x);
3. che il suddetto limite coincide con il valore della funzione valutata nel punto c.

Se dunque la funzione è continua nel punto c essa verifica tutte le richieste di cui sopra. Affinché la funzione sia continua in un intero intervallo la definizione deve valere per ogni punto dell’intervallo. È chiaro che, nel determinare la continuità di una funzione, non si effettua l’operazione di cui sopra punto per punto (sarebbe un’impresa letteralmente impossibile) ma si valuta molto più semplicemente il suo dominio, che è di gran lunga più semplice… ma soprattutto fattibile!

Immagine via commons.wikimedia.org

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