Funzione biettiva


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Cos’è una funzione biettiva?
Una funzione biettiva, detta anche biiettiva o bigettiva o biunivoca, è una funzione che risulta contemporaneamente iniettiva e suriettiva.

In pratica, una funzione f, definita in un insieme X e a valori in un insieme Y, è biettiva se e soltanto se per ogni elemento di Y esiste un unico elemento di X di cui esso è immagine. In formule, data una funzione…
\begin{array}{c}
f:X \rightarrow Y \space biettiva \\
\Longleftrightarrow \\
\forall y \in Y \space \exists ! \space x\in X : f(x) = y
\end{array}

Nella definizione appena data sono comprese entrambe le definizioni di iniettività e suriettività. Infatti, il fatto che ogni elemento di Y abbia la sua controimmagine assicura la suriettività, mentre il fatto che questa controimmagine sia unica assicura l’iniettività, quindi, in definitiva, la biettività.

Facciamo un esempio. La funzione che associa ad ogni regione italiana il suo capoluogo è biettiva, in quanto ogni regione ne ha uno e ogni capoluogo è tale per una sola regione. Facciamo un insieme più matematico.
\begin{equation}
f: x \in \mathbb{N} \rightarrow 2x \in \mathbb{N}_{p}
\end{equation}
è una funzione biettiva.

Le funzioni biettive sono di fondamentale importanza per determinare la cardinalità degli insiemi, specie se infiniti. Ma questo lo vedremo in un’altra sede!

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