Formulario di trigonometria

Le funzioni trigonometriche sono ampiamente usate da matematici e fisici nella risoluzione (o anche nella formulazione) di numerosi problemi. Pertanto potrebbe essere utile conoscere qualche formula, o avere almeno un’idea di come ricavarle nel caso in cui dovessimo dimenticarle. Vediamo dunque cos’è utile ricordare e cosa invece è utile saper ricavare.

Cominciamo col dire che la prima cosa che si dimostra in trigonometria è la relazione fondamentale:
\begin{equation}
\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1,\space \forall x \in \mathbb{R}
\end{equation}

La relazione vale dunque per ogni angolo… a patto che l’argomento di seno e coseno sia lo stesso angolo!!! Dalla relazione fondamentale si ricava immediatamente una formula che fornisce il seno in funzione del coseno e viceversa. Infatti:

\begin{array}{c}
\sin x = \pm \sqrt{1 – \cos^{2} x} \\ \cos x = \pm \sqrt{1 – \sin^{2} x}
\end{array}

Il segno più o meno dipende dalla posizione dell’angolo sulla circonferenza goniometrica (ricordando che le funzioni seno e coseno si ripetono ad ogni giro, ossia per ogni multiplo di 2*pi_greco).

Formule più utilizzate in trigonometria

Vediamo comunque le formule più utilizzate, ossia quelle di somma e differenza d’angoli, quindi duplicazione e bisezione.
\begin{array}{c}
\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha \\
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \\
\sin (\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \sin \beta \cos \alpha \\
\cos (\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\end{array}

Formule di addizione

Dalle formule di addizione derivano le formule di duplicazione. Infatti è facile dimostrare che:
\begin{array}{c}
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \\
\cos 2\alpha = \cos^{2} \alpha – \sin^{2} \alpha = 1 – 2\sin^{2} \alpha = 2\cos^{2} \alpha – 1
\end{array}

Formule parametriche

Le ultime formule che vale la pena ricordare sono le formule parametriche, che esprimono seno e coseno di un angolo (e quindi tutte le funzioni trigonometriche) in funzione della tangente della metà dell’angolo stesso. Tali formule servono a risolvere più facilmente molte equazioni, disequazioni, integrali e simili in quanto riconducono un polinomio trigonometrico in un polinomio con una incognita privo di funzioni trigonometriche… è chiaro che poi alla fine bisogna fare il passaggio inverso per trovare le vere soluzioni. Ad ogni modo…
\begin{array}{c}
t = \tan \frac{x}{2} \\
\cos x = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \\
\sin x = \frac{2t}{1+t^{2}}
\end{array}

Formule di bisezione

Dalle formule di duplicazione è facile ricavare quelle di bisezione. Infatti
\begin{array}{c}
\cos x = 1 – 2\sin^{2} \frac{x}{2} \Longrightarrow sin^{2} \frac{x}{2}= \frac{1 – \cos x}{2} \\ \Longrightarrow \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 – \cos x}{2}} \\
\cos x = 2 \cos^{2}\frac{x}{2} – 1 \Longrightarrow \cos^{2}\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \\
\Longrightarrow \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}
\end{array}

Ancora una volta il simbolo più o meno dipende dalla posizione dell’angolo. Da queste formule è facile ricavare anche le formule di duplicazione, bisezione e formule parametriche per tangente e cotangente, secante e cosecante.

Insomma, una volta ottenute le informazioni su una sola delle funzioni trigonometriche è facile scoprire in maniera molto semplice tutte le altre!