Flusso di campo elettrico

Flusso

Cos’è il flusso del campo elettrico?
Supponiamo di avere, da principio, un campo elettrico uniforme E in una certa porzione di spazio, e supponiamo data una superficie S nella stessa porzione di spazio. Il flusso di campo elettrico relativo alla superficie S può essere visto come il numero – ovvero la quantità delle linee di campo che attraversano la superficie S da parte a parte. Pertanto, se la superficie è perpendicolare al campo, data l’uniformità del campo è facile prevedere che il flusso attraverso di essa sarà dato dalla relazione
\begin{equation}
\Phi_{E} = EA
\end{equation}
Prendiamo adesso una superficie che non sia perpendicolare al campo (vedi figura). È facile notare che le linee di campo che attraversano la superficie sono le stesse che attraversano la sua proiezione su di un piano ortogonale al campo. In questo caso dunque si evince facilmente che:
\begin{equation}
\Phi_{E} = EA\cos \alpha
\end{equation}
dove alfa è l’angolo formato da un qualsiasi vettore del campo con il vettore normale della superficie S.

flusso2

Cosa succede se la superficie ed il campo non sono uniformi?
L’idea è quella di suddividere la superficie in infiniti pezzetti con area
\begin{equation}
\Delta A
\end{equation}
A questo punto si ha che
\begin{equation}
\Phi_{E}=\sum_{i} E_{i} \Delta A_{i} \cos \alpha_{i} = \sum_{i} \overset{\rightarrow}{E_{i}} \cdot \overset{\rightarrow}{A_{i}} = \sum_{i} \overset{\rightarrow}{E_{i}} \cdot {A_{i}}\overset{\rightarrow}{n_{i}}
\end{equation}
laddove n_{i} è il versore normale alla singola area A_{i}.
Siccome questa è prevedibilmente una somma approssimata, il passo successivo è quello di far tendere le varie aree a zero, per cui…
\begin{array}{c}
\lim_{\Delta A_{i} \rightarrow 0} \sum_{i} \overset{\rightarrow}{E} \cdot {A_{i}}\overset{\rightarrow}{n_{i}} = \int_{superficie} \overset{\rightarrow}{E} d\overset{\rightarrow}{A} = \int_{superficie} \overset{\rightarrow}{E} \cdot \overset{\rightarrow}{n} dS
\end{array}
dove l’integrale, come è scritto, è fatto sull’intera superficie.

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