Esempi e controesempi.

fermat

A cosa servono le dimostrazioni? La matematica è spesso una ricerca continua nel tentativo di dimostrare e generalizzare concetti e idee che poi, si spera, diventano leggi, regole, lemmi, teoremi e quant’altro. L’errore più ricorrente che si fa quando si comincia a far matematica, a scuola, è quello di pensare che uno, venti o centomila esempi possano dare la prova inconfutabile di una legge o di un teorema! Un esempio può servire a rendere più comprensibile un teorema o una regola, ma non a dimostrare! Anzi, talvolta un esempio può confutare totalmente una tesi, ovvero una congettura, diventando dunque un controesempio.

Vediamolo in pratica con un semplice… esempio! Affermiamo quanto segue:

dall’implicazione 3x = 3 -> x = 1 si evince che ogni equazione del tipo ax = b si risolve dividendo per il coefficiente della x.

FALSISSIMO!!! Nel caso in cui il coefficiente della x sia zero non è possibile eseguire la divisione, quindi non tutte le equazioni di primo grado si risolvono nella maniera descritta. Pertanto l’affermazione “0x = 3 -> equazione impossibile” rappresenta un controesempio di quanto affermato prima.

Dunque, le dimostrazioni vanno fatte nei casi generali, con precise ipotesi, e non con casi particolari. Inoltre, la parola OGNI non prevede eccezioni! Quindi, se l’affermazione fatta “per ogni” è falsa anche in un solo caso su infiniti allora essa diventa falsa! Ad esempio, il matematico Fermat era convinto che ogni numero del tipo
Fermat
fosse un numero primo, e ne aveva dato esempi fino ad n = 4. Questo in matematica non assicura affatto che l’affermazione fatta fosse vera… tant’è che qualche anno dopo Eulero dimostrò che per n = 5 il numero in questione non era primo, confutando totalmente l’ipotesi di Fermat.

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