Esame di maturità 2013: matematica

Le soluzioni dei problemi di matematica e dei quesiti.

Problema 2.

Punto 2

Punto 3

Quesito 1.
Applicando la formula di Erone
\begin{equation}
A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\end{equation}
dove p è il semiperimetro e gli altri sono i lati, si ha, chiamando il lato incognito x:
\begin{equation}
\sqrt{\frac{5+x}{2} \cdot (\frac{5+x}{2}-2)(\frac{5+x}{2}-3)(\frac{5+x}{2}-x)} = 3
\end{equation}
da cui
\begin{array}{c}
\frac{5+x}{2}(\frac{1+x}{2})(\frac{x-1}{2})(\frac{5-x}{2})=9 \\
(\frac{x^{2}-1}{4})(\frac{25-x^{2}}{4})=9 \\
(x^{2}-1)(25-x^{2})=144 \\
-x^{4} +26x^{2}-169=0 \\
-(x^{4} -26x^{2}+169)=0 \\
-(x^{2} -13)^{2} =0
\end{array}
da cui si hanno soluzioni
\begin{equation}
x= \pm \sqrt{13}
\end{equation}
Parlando di misure geometriche l’unica soluzione accettabile è quella positiva, sicché:
\begin{equation}
x=\sqrt{13}
\end{equation}

Quesito 2.

Quesito 6.Essendo 3! = 6, per ottenere il settimo numero della sequenza si può ragionare nel seguente modo: “bloccando” le prime quattro cifre (1234) si ottengono i primi numeri della sequenza facendo permutare gli ultimi 3, sicché per ottenere il settimo occorre modificare la cifra delle migliaia. Pertanto, dovendo scegliere il più piccolo, si ha che 5 è la cifra delle migliaia mentre le altre vanno scelte tra 4, 6, 7. Dovendo scegliere il più piccolo, la settima cifra è 1235467.
Per quanto riguarda la 721-esima cifra, basta osservare che 6! = 720, che sono i numeri che si ottengono mantenendo fissa la prima cifra (1) e permutando le restanti 6. Per ottenere dunque il 721-esimo numero basta considerare 2 come prima cifra e prendere il numero più piccolo formato dalle restanti, sicché la 721-esima cifra è 2135467.
Quesito 7

Quesito 8.
La funzione g(x) ha come derivata esattamente la funzione f(x), che si può rappresentare a tratti come segue:
\begin{equation}
g'(x) = f(x)= \{
\begin{array}{c}
2x,\space 0 \leq x \leq 1 \\
4-2x, \space 1 \leq x \leq 2 \\
2-x, \space 2 \leq x \leq 3 \\
x-4, \space 3 \leq x \leq 4
\end{array}
\end{equation}
La derivata di g risulta pertanto nulla in 0, 2, 4. Tuttavia 2 è un punto di massimo, giacché la funzione g è sempre crescente prima di due (o, volendo, la sua derivata è sempre positiva), mentre 0 e 4 sono due minimi. Cercando il valore positivo della x, il minimo cercato è x=4, che corrisponde ad un valore di g pari a 1. (Minimo: (4,1))

Quesito 9.

La risposta giusta è la A. La funzione f(x) ha infatti derivata positiva fino a -2 (è crescente), nulla in -2 poiché presenta un massimo, quindi negativa da -2 a 2 poiché la funzione è decrescente. Quindi ha un minimo (derivata nulla), quindi è di nuovo positiva. L’unico grafico che presenta tali caratteristiche è il grafico A